미적분 직관하기 2

[1부 분할과 통합을 직관하다: 적분]
1 한 여름날의 특강
2 지레의 원리
3 아르키메데스의 수학 서커스
4 아르키메데스의 ‘방법’
5 평면도형의 넓이를 어떻게 구할 것인가
6 원주율을 구하는 여정
7 아르키메데스의 엄밀한 적분
8 입체도형의 부피를 어떻게 구할 것인가
9 수열의 일반항과 합
10 라이프니츠의 망원합
11 급수, 무한개의 수를 더하다
12 자기닮음과 프랙털
13 적분의 재등장

[2부 미분과 적분의 통합을 직관하다: 미적분]
1 현대적 적분의 시작
2 다항함수의 그래프의 넓이가 정복되다
3 수학의 대혁명이 눈앞에 아른거리다
4 뉴턴의 현란한 적분법
5 라이프니츠의 심오한 적분 기호
6 미적분의 기본 정리
7 적분이 진화하다
8 미적분의 창시자들
9 미적분의 기본 정리 직관하기
10 넓이의 변화율 직관하기

[3부 문제 해결의 혁명을 직관하다: 미적분의 활용]
1 정적분 기호 가지고 놀기
2 넓이를 구하는 새로운 방법
3 입체도형의 부피
4 곡선의 길이, 그리고 미적분과 차원
5 적분, 말 그대로 조각의 넓이를 쌓다
6 다항함수 그래프의 필연성
7 적분으로 이런 것도 구할 수 있다고?
8 무한소만큼의 변화가 탄생시킨 새로운 방법
9 뉴턴, 우주의 법칙을 증명하다

나가며: 미적분 직관하기를 마치며

[부록]
더 깊이 들어가기
도판 출처
참고 문헌

“이제 우리가 마지막으로 직접 확인해보고 싶은 지레의 균형은 무엇일까?”
“오른쪽 끝에는 포물선 도형을 놓고, 왼쪽에는 받침점에서 2/3만큼 떨어진 지점에 삼각형 도형을 놓으면 균형이 맞아야 합니다.”
두 도형을 학생이 말한 대로 놓자 정확하게 균형이 맞았다. 교실에서는 2,300년 전으로 보내는 함성과 박수 소리가 터져 나왔다. - 1부 3장 〈아르키메데스의 수학 서커스〉

아르키메데스의 방법은 오늘날 적분법의 정신, 즉 전체를 작은 조각으로 나누어 분석한 후, 그것들을 다시 결합해 전체를 이해하는 방식의 모태라 할 수 있다. 그래서 적분법의 역사 맨 처음에는 언제나 아르키메데스가 등장한다. 그런데 놀라운 사실은 적분법을 완성한 뉴턴과 라이프니츠조차 아르키메데스의 방법의 존재를 몰랐다는 것이다. 이 방법이 자칫 인류의 기억 속에서 영영 사라질 뻔했던 아찔한 위기가 있었기 때문이다. - 1부 4장 〈아르키메데스의 ‘방법’〉

수학에서 적분이 미분보다 개념적으로 먼저 등장할 수밖에 없었던 근본적인 이유는 인간의 본성이 부분보다 전체에 더 많은 관심을 갖기 때문이고, 동적(動的)인 것보다 정적(靜的)인 것을 탐구하는 것이 훨씬 쉬웠기 때문이다. 적분은 ‘정적인 전체’를 탐구하는 과정에서 탄생했고, 미분은 ‘동적인 부분’을 탐구하는 과정에서 시작되었다. - 1부 8장 〈입체도형의 부피를 어떻게 구할 것인가〉