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책 정보
· 분류 : 국내도서 > 과학 > 수학 > 수학사
· ISBN : 9791196260811
· 쪽수 : 364쪽
책 소개
목차
프롤로그
상상력이 만드는 경이로운 수학의 세계
수학에 왕도는 있다 | 철학으로 수학을 사유하다 | 권위를 내버린 유쾌한 수학 속으로
제1장
수학의 초상화들 _진리 게임을 넘어서
진리 게임 | 수학자와 봉숭아 학당 | 모든 수학 이론이 수학적 진리와 무관하다는 것의 수학적 증명 | 수학의 본질은 자유다 | 수학의 초상화들
제2장
근대 과학혁명과 수학 _자연을 수학화하라!
마술과 과학 | 갈릴레오, 혹은 과학의 탄생 신화 | 자연의 수학화 | 우주의 수학과 수학적 우주 | 과학의 힘, 수학의 힘 | 분석적 이성의 바깥
제3장
계산공간의 탄생 _수학화된 세계를 향한 첫걸음
코끼리-기계와 뭉개진 탑 | 예술의 가치를 계산하다 | 계산할 수 있는 수와 계산할 수 없는 수 | 화폐, 계산하는 세계의 문 | 두 눈 속의 계산공간 | 기하학의 대수화 | -2와 의 근본적 차이 | 기하학적인 수와 대수적인 수 | 기하학의 흔적을 지우자! | 해석기하학의 초대장 | 수학적 계산공간의 탄생
제4장
수학의 마술, 혹은 마술사의 수학 _미적분학의 ‘비밀’
악마의 수학, 수학의 악마 | 캘큘러스 박사의 운동화(運動畵) | 운동화의 물리학 | 캘큘러스 박사의 비밀 | 무한소와 미분비 | 운동의 물리학에서 접선의 수학으로 | 미분법을 뒤집어 원시함수로! | 곡선의 면적, 혹은 □으로 ○ 만들기 | 적분, 무한히 얇게 쪼개 합치는 기술 | 무한소의 융통성 | 적분을 하면 모든 면적이 같아진다고? | 오, 미분법의 영광이여!
제5장
세계를 수학화하려는 꿈 _17~18세기 수학의 풍경
캘큘러스, 해석학의 시대 | 계산 가능한 세계를 향하여 | 보편수학, 혹은 수학의 이념 | 17~18세기 수학의 네 가지 축 | 17~18세기의 수학적 공간
제6장
해석학의 위기, 기하학의 모험 _엄밀성의 강박과 위험한 창안 사이
스페이드 나라의 앨리스 | 마침내 수학의 위기가 도래하리니 | −2−2−2−2−2−2……=0? | 마녀의 역설 | 온 세상이 다 들어가는 구슬 | 새로운 기하학의 공적을 빼앗기다 | 구슬공간의 기하학 | 구슬공간과 유클리드공간 | 근대 수학, 위기와 모험 | 해석학의 위기 | 비유클리드기하학과 새로운 대수학
제7장
산수와 대수의 힘 _수학의 천국으로 가는 길
‘끄달려선 안 된다’는 생각에 끄달리다 | 칼리가리의 세 예언 | ‘존재한다’는 것만으로도 충분한가? | 수학적 수수께끼의 단서들 | 가우스가 준 뜻밖의 선물 | 기하학의 기초, 기하학의 분열 | 마술사 칼리하리를 만나다 | 메피스토 왈츠 | 해석학의 산수화 | 변환의 불변성과 기하학 | 모든 점에서 연속인데 모든 점에서 미분 불가능한 함수 | 수학과 도(道)
제8장
집합론, 무한을 셈하다 _무한집합의 역설들
19세기의 수학 정신 | 표준해석학과 범기하학 | 칸토어 박사, 판도라의 상자를 열다 | 자연수만이 실재한다? | 수란 무엇이며 무엇이어야 하는가? | 무한을 세는 방법 | 셀 수 있는 무한, 셀 수 없는 무한 | 대각선을 공략하라! | 길고 짧은 건 재보면 똑같다 | 연속체의 농도 | 우주공간의 모든 점들을 바구니 안에 담는 방법 | 초한수, 무로부터 나온 무한들 | 집합론의 역설
제9장
역설 없는 수학을 찾아서 _수학기초론의 세 가지 길
무한소의 역설에서 무한대의 역설로 | 자연수와 실수 사이의 심연 | 역설의 시대 | 이발사의 역설, 거짓말쟁이의 역설 | 자기에 대해 말하지 말라 | 내용 없는 형식으로서의 수학 | 형식 체계의 무모순성은 해석에 의존한다 | 형식주의, 논리주의, 직관주의 | 배중률과 귀류법을 포기하자! | 공리계의 완전성과 무모순성 | 수학적 엄밀성의 진혼곡
제10장
불완전성의 정리 _수학의 심연, 혹은 열린 경계
수학과 원초적 본능 | 서로 그리는 손의 역설 | 내재하는 외부 | CAP(Computer Aided Prison), 완전한 감옥 | 아킬레스와 괴델 | ‘이 명제는 증명할 수 없다’를 증명할 수 있다면 | 문장을 수로 바꾸는 방법 | 괴델수와 괴델의 정리 | 자연수, 너마저도! | 연속체 가설로 아킬레스를…… | 감금의 연속체, 탈출의 연속체 | 결정 불가능한 명제와 열린 경계
제11장
두 개의 수학 삼각형 _19세기 수학의 풍경
‘계산’의 시대에서 ‘기초’의 시대로 | 두 개의 수학 삼각형 | 19세기 수학적 기획의 선들 | 기초 없는 수학을 위하여
에필로그
수학의 외부를 상상하는 즐거움
추상과 횡단 | 수학의 외부
저자소개
리뷰
책속에서
제1장_ 수학의 초상화들
서구에서는 오랫동안 수학이 거의 절대적인 의미에서 진리로 여겨졌다. 예를 들어 유클리드기하학은 절대적인 진리의 자리를 차지하고 있었다. 그러나 19세기 중반을 거치면서 유클리드기하학과 전혀 다른 종류의 기하학이 나타났다. 그 기하학에서는 평행선이 없거나 무수히 많다. 이처럼 상반되는 여러 가지 기하학이 공존하는데, 그 모두가 다 진리라고 할 수 있을까?
제2장_ 근대 과학혁명과 수학
갈릴레오가 있을 수도 없는 실험을 했다는 허구적 이야기까지 만들며 그가 과학혁명의 아버지가 되게 만든 것, 그것은 바로 운동이나 원리를 수학적인 공식으로 표현하려는 태도였다. 이를 보통 ‘자연을 수학화’한다고 말한다. 수학화하고 계산할 수 있게 만드는 것, 이것이 근대 과학의 핵심이었다. 이런 점에서 수학은 근대 과학의 중심에 있다고 말해도 좋다.
제3장_ 계산공간의 탄생
‘자연의 수학화’라고 불렀던 이상은 모든 법칙을 계산가능성의 공간 속으로 끌고 가려는 기획이기도 했다. 여기서 기하학을 대수적인 계산의 세계로 끌어들인 ‘해석기하학’은 또 하나의 중요한 기여를 한다. 이 역시 갈릴레오를 필두로 했던 근대 과학혁명을 이루는 또 하나의 축이었다.