매듭 이론

머리말

제1장 매듭
1 일상에서의 매듭
2 묶여있다는 것은 어떤 상태인가?
3 매듭법을 설명한다

제2장 매듭 이론으로, 무엇을?
1 매듭과 고리
2 같은 매듭 · 다른 매듭

제3장 고리를 살펴보기 위해서는
1 종이에 고리를 그려보자
2 고리의 다이어그램 - 기약 다이어그램
3 매듭 이론의 목표

제4장 다양한 고리
1 일상에서의 매듭으로부터 얻어진 매듭
- 옭 매듭 / 마디 매듭 / 8자 매듭 / 부둣가 매듭 / 날개 매듭 / 맞매듭(스퀘어 매듭) / 외과의사 매듭 / 세로 매듭(그래니 매듭) / 솔로몬의 매듭 / 보로메오 고리
2 수학적인 의미를 가진 고리
- 고리 계열 / 분리 가능한 고리 / 거울에 비친 고리 / 합성 매듭 / 프라임 매듭

제5장 그래프와 매듭
1 평면 그래프
2 오일러 공식 - 오일러 공식의 확장 증명
3 매듭의 다이어그램과 평면 그래프

제6장 그려진 고리를 변형하자Ⅰ
1 같은 다이어그램 · 다른 다이어그램
- ‘같다’가 무슨 말인가? / ‘같은’ 평면 도형
2 평면의 동위 변형 - 같은 도형이란?
3 고리 다이어그램의 동위 변형
4 같은 고리를 나타내는 다른 다이어그램
- 자명 다이어그램 / 교대 매듭

제7장 고리의 표를 만들자
1 고리의 복잡도 기준
2 매듭을 나열하기 위해서는
- 매듭의 최소 교점수 / 최소 교점수를 결정하기 위해서는 / 교점의 수가 1 또는 2인 다이어그램에서 얻어지는 매듭은?
3 교대 다이어그램과 최소 교점수
4 매듭표의 작성

제8장 그려진 고리를 변형하자Ⅱ
1 평면의 동위 변형으로 이동하지 않는 같은 고리의 다이어그램
2 라이데마이스터 변형이란?
3 라이데마이스터 변형을 사용해 보자
- 교점을 늘리는 라이데마이스터 변형만 가능한 다이어그램

제9장 고리의 지문
1 불변량이란?
- 사람의 불변량 / 평면 도형의 불변량
2 고리와 다이어그램의 불변량
- 고리의 불변량 / 고리 다이어그램의 불변량

제10장 그 고리, 정말로 얽혀 있어?
1 간이 고리수란?
2 간이 고리수를 구해보자
3 계산의 예와 이를 통해 알 수 있는 것

제11장 매듭이 정말로 묶여 있을까?
1 고리의 3채색 가능성이란?
- 고리 다이어그램의 3채색
2 3채색 가능 여부를 알아보자
- 호프 고리의 3채색 가능성 / 8자 매듭의 3채색 가능성 / 3채색 가능성에 관한 연습문제
3 3채색 가능 여부의 판정 결과를 통해 알 수 있는 것

제12장 불변성의 증명
1 간이 고리수의 불변성 증명
- 평면의 동위 변형 / 라이데마이스터 변형 I / 라이데마이스터 변형Ⅱ / 라이데마이스터 변형Ⅲ
2 3채색 가능성의 불변성 증명
- 평면의 동위 변형 / 라이데마이스터 변형 I / 라이데마이스터 변형Ⅱ / 라이데마이스터 변형Ⅲ

제13장 고리를 풀자
1 교차 교환과 매듭의 풀림수(unknotting number)
2 고리 풀림수 - 교차 교환과 간이 고리수

부록 / 매듭과 고리의 표
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