선생님도 놀라게 하는 수학

1. 도형 9
원 10 삼각형 27 각도 40

2. 좌표 51
좌표 52 함수 57

3. 소수 63
소수 64 소인수 71

4. 제곱근 75
제곱수 76 무리수 제곱근 86

5. 분수 109
분수 110 백분율 123

6. 이차방정식 131
포물선 132 이항식 137
제곱근 공식 140

7. 구 147
원 148 원기둥 156 구 160

8. 삼각함수 169
삼각관계 170 쌍곡선 186

9. 확률 189
통계적 확률 190 주관적 확률 196
조건부 확률 202

10. 로그 211
로그함수 그래프 212
로그의 종류 219

찾아보기 222

삼각형의 내각의 합이 항상 180°인 것은 아니다?!
영국 작가 테리 프래쳇Terry Pratchett(1948년)은 삼각형의 내각의 합이 항상 180°라는 주장은 황새가 아이를 물어다 준다는 말만큼이나 근거 없는 낭설에 불과하다고 비판했다. 수학에 무지한 사람들에게나 통할 법한 거짓말에 불과하다는 뜻이었다. 실제로 삼각형의 내각의 합이 늘 180°라는 말은 거짓말이다! 평면 위에서는 해당 법칙이 진실일지 몰라도 구면 위에서는 적용되지 않는다. 구면 위에 놓인 삼각형의 내각의 합은 항상 180°보다 크다. 참고로 구면 위 삼각형의 면적은 구면과잉에 비례한다. ‘구면과잉spherical excess’이란 구면 위에 놓여 있는 다각형의 내각의 합과 평면 위에 놓여 있는 다각형의 내각의 합의 차이를 가리키는 말이다(가령 구면 삼각형의 세 각을 합한 것과 180° 외의 차. 이때 두 다각형의 변의 개수는 동일함).
구면과잉은 특히 토지 측량학이나 지도 제작 분야에서는 매우 중요하다. 구면과잉을 감안하지 않을 경우, 전반적으로 울퉁불퉁하면서 면적이 넓은 토지를 측량할 때, 혹은 해당 토지에 대한 지도를 제작할 때 오차가 커질 수밖에 없기 때문이다. 다시 말해, 입체 위에서 구면과잉을 감안하지 않을 경우 실제 면적과의 오차가 감당할 수 없을 만큼 커질 수도 있다는
뜻이다. 반면 측정 대상 토지가 비교적 평면에 가깝다면 구면과잉을 무시하고 이차원 위에서 면적을 구할 때와 동일한 방법을 활용해도 크게 문제되지 않는다.

적분과 함수
f(x)=ax+b의 함수 그래프 아래쪽의 넓이를 구하는 과정은 가장 간단한 형태의 적분 계산으로도 가능하다. ‘적분integral’은 함수의 계산 방식을 가리키는 말로써, 적분 공식에서는 ‘인테그랄’이라는 기호를 사용한다. 사실 인테그랄이라는 말만 들어도 무시무시한 공식부터 떠올리며 겁먹는 학생들이 많은데, 그 뒤에 숨은 원리는 그다지 무시무시하지 않다.
물론 고등학생이 되면 직선적분뿐 아니라 다양한 곡선에 관한 적분 계산도 배워야 하고, 그 계산은 솔직히 말해서 조금 복잡하고 어렵다. 하지만 적분의 가장 밑바탕이 되는 기본 원리는 앞서 사다리꼴의 면적을 구하는 과정과 동일하다.