수학멘토

서언 : 도올 김용옥
저자 서문

제1부 수학이란 무엇인가?

1. 증명할 줄 안다면 두려울 것이 없다

(1) 배움의 시작 - 아! 국, 영, 수여
(2) 자! 증명 한번 해볼까요?
기하학에서 시작된 증명
닭과 토끼는 각각 몇 마리?
답은 이미 문제 속에 있었다
(3) 도대체 함수가 뭐야?
함수란 원인과 결과 사이의 대응 관계
일상 속에 살아 숨쉬는 함수 '사다리타기'
기발한 증명도 알고 보면 상식의 활용일 뿐
EPISODE1 학교에서 일어난 일
(4) 귀류법은 뭐지?
공주와 결혼한 나무꾼 이야기
불가능을 증명하라
밤하늘의 별처럼 소수는 무한히 많았다
(5) 가장 기본적인 두 가지 정리
'산술의 기본정리'와 '피타고라스의 정리'
마침내 잴 수 없는 수를 발견하다
(6)인수분해는 뭐더라?
마법의 수 0의 세 가지 성질
방정식을 잘게 쪼개서 숨어있던 답을 끄집어내다
EPISODE2 학교에서 일어난 일
(7) 위상수학
-또모르지에서 더모르지까지

2. 수학은 분석과 종합의 과정이다

(1) 칸토어의 피맺힌 절규, "수학의 본질은 자유이다"
(2) <원론>, 분석과 종합이라는 학문의 전형을 세우다
(3) 수학은 궁극적인 것을 추구하지 않는다. 아니 추구할 수 없다
EPISODE3 나의 수학역정

제2부 수학사의 이해

EPISODE 학교에서 일어난 일

1. 수학, 세계를 넘어 우주를 설명하다

(1) 연산이 뭘까?
연산, 둘로 새로운 하나를 만드는 과정
자연수에서 유리수까지
(2) 세상의 모든 것은 수의 구현체일 뿐
수학의 아버지, 피타고라스
모든 것은 잴 수 있다. 아니 잴 수 있어야 한다
(3) 괴물 무리수, 수학을 둘로 갈라버리다
잴 수 없는 수의 발견
'수'와 '길이'는 전혀 다른 것
(4) 아니야, 이 세상이 하나니까 수학도 하나여야 해!
수직선의 등장
디오판토스의 나이에 숨어있는 연산의 규칙
"잴 수 있음"에서 "동일한 규칙을 만족함"으로
실수:수(대수)와 길이(기하)를 하나로 통일하다
천재소년 가우스의 놀라운 아이디어
(5) 나는 계산한다. 고로 존재한다
의심할수록 분명해지는 것을 찾아라!
철학의 통일에서 수학의 통일로
대수학의 천하통일
(6) 자연과학은 왜 하필 서양에서 나타났을까?
기독교의 역할 : 인간이 자연에서 분리되다
이신론 등장 : 자연철학에서 자연과학으로
신화의 탄생 : 모든 것은 계산가능하다

2. 유사 이래 최대의 반란이 일어나다

(1) 위대했던 탈레스 그리고 기하학의 시작
(2) 유클리드 체계
공리는 스스로 성립하는 명백(자명)한 것
평행선 공리를 증명하려는 눈물겨운 노력
(3) 비유클리드 기하학, 새로운 세계를 열다
세 명의 반란자들, 평행선 공리를 부정하다!
종교(자명성)에서 학문(무모순성)으로
수학은 인간의 진리일 뿐
EPISODE5 어떤 종교인

3. 수학은 불완전하다. 그래서 누구에게나 열려있다

(1) 수학의 모든 것은 자연수 체계로부터
(2) 불완전성 정리, 종교개혁의 완결판
'모순 없음'과 '완전함'은 증명할 수 없다
인간의 자유로운 이성, 수학의 영원함을 보장하다!
(3) 그래서 삶은 아름다운 것