고교수학의 아름다운 이야기

소 개 ⅲ


제 0 장 영역별 문제집

✡ 대수 2
✡ 정수 3
✡ 도형 3
✡ 함수 8
✡ 경우의 수 • 확률 9


제 1 장 중학교 수학에서 즐길 수 있는 아름다운 정리

1 2차방정식의 해의 공식의 3가지 증명 ☆☽ 14
2 피타고라스 정리의 4가지 아름다운 증명 ☆☽ 17
3 수심의 존재에 대한 3가지 증명 ☆☆☽ 21
4 중선정리(아폴로니우스 정리)의 3가지 증명 ☆☽ 25
5 정오각형의 대각선의 길이와 작도방법 ☆☽ 29
6 약수의 개수의 공식과 정사각수의 성질 ☆☽ 32
7 가 무리수임을 보여주는 4가지 증명 ☆☆☽ 35
8 이중근호를 어떻게 풀 수 있는가? ☆☆☽ 38
9 길의 방향의 경우를 수를 구하는 방법 ☆☽ 42
10 정다면체의 종류가 5개인 것을 증명하는 2가지 ☆☽ 46
11 테트리스 블록의 종류를 세는 문제 ☆☆☽ 50


제 2 장 교과서의 공식들에 대한 조금 다른 공식들

12 기억하면 좋은 편리한 삼각비의 값 ☆ 56
13 헤론의 공식을 증명한 예제 ☆ 59
14 그래프의 평형이동의 증명과 예 ☆☽ 64
15 지수함수의 그래프를 그리는 2가지 방법 ☆ 67
16 부분분수의 해를 구하는 3가지 방법 ☆☆ 71
17 인수분해공식(제곱의 차, 합) ☆ 75
18 켤레복소수에서 기억해야할 성질 ☆ 78
19 이차함수의 결정과 배경 ☆☆ 81
20 벡터의 내적을 이용한 코사인정리의 증명 ☆☆ 85
21 여러 가지 삼각부등식(절대값・복소수・벡터) ☆☆ 89
22 2변수의 대칭식과 기본대칭식의 4가지 성질 ☆☆☽ 93
23 1차부등식 의 정수해 ☆☆ 97
24 외접원의 반지름과 삼각형의 넓이 관계 ☆☆☆ 100


제 3 장 우아한 증명, 꾸준한 증명 어느 쪽이 좋을까?

25 점과 직선까지의 거리공식 3가지 증명 ☆ 104
26 평면의 방정식을 구하는 3가지 방법 ☆☆☆ 109
27 두 직선이 이루는 각을 구하는 2가지 방법 비교 ☆☆ 113
28 체바의 정리 3가지 증명 ☆☆ 118
29 프톨레마이오스 정리의 증명과 응용 예 ☆☆☆ 122
30 프톨레마이오스부등식의 증명과 예 ☆☆☆☆☽ 127
31 부등식 의 여러 가지 증명 ☆☆☆ 131
32 네스빗(Nesbitt)부등식의 5가지 증명 ☆☆☆☆ 134
33 원주율이 보다 큰 수의 여러 가지 증명 ☆☆☆ 138
34 네제곱의 정리(도형의 넓이와 정사영) ☆☆☆ 143
35 소수가 무한하다는 아름다운 증명 ☆☆☆☆ 147
36 소수의 간격은 최댓값이 없다는 3가지 증명 ☆☆☆☆ 150
37 오일러의 다면체 정리의 증명 ☆☆☆☆☽ 153


제 4 장 친근한 주제에 숨어있는 아름다운 정리와 공식

38 가위, 바위, 보에서 무승부가 될 확률을 구하는 방법과 값 ☆☆ 158
39 생일이 같은 사람이 2인이 될 확률 알아보기 ☆☆☆ 161
40 파산확률과 점화식 ☆☆☆ 165
41 가위,바위,보 놀이의 최적 전략과 도쿄대학 입시문제 ☆☆☆ 169
42 님(Nim) (여러 더미의 돌 잡기 게임)의 필승법 ☆☆☆☆☽ 173
43 斜方投射(포물선운동)의 공식의 유도와 비거리를 늘이는 방법 ☆ 178
44 루로삼각형과 정폭도형 ☆☆☆☆☽ 182
45 4색정리의 소개와 5색정리의 증명 ☆☆☆☆☆☽ 185
46 램지의 정리와 6명의 문제 ☆☆☆☆☽ 189
47 평면그래프와 오일러정리의 응용 ☆☆☆☆☆☽ 192


제 5 장 어려운 정리와 공식도 본질이 보이면 재미있다.

48 좌표에서 사면체의 부피를 구하는 공식 ☆☆☆ 198
49 체비쇼프 다항식 ☆☆☆ 202
50 가 무리수임을 증명하기 ☆☆☆ 205
51 삼각형의 내각의 합・곱 공식 ☆☆☆☆ 208
52 삼각형의 페르마 점의 3가지 증명 ☆☆☆☆ 213
53 텐트(천막)사상과 성질(도쿄대학입시의 배경) ☆☆☆ 218
54 카르타노의 공식과 예 ☆☆☆ 222
55 페르마의 수와 성질 ☆☆☆☆ 226
56 카탈란 수의 의미와 점화식 ☆☆☆☆ 229
57 폴리아의 항아리와 관련된 확률과 증명 ☆☆☆ 233
58 전사의 개수의 증명과 벨 수 ☆☆☆ 236
59 구면위의 삼각형의 넓이와 내각의 합 ☆☆☆☆☆ 240
60 프랭크-몰리의 정리와 증명 ☆☆☆☆☆ 244


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