열흘 만에 끝내는 초등수학

추천사 / 저자의 말
프롤로그 거대한 진리의 바다 앞에서
제1부 본격적인 수학 지도에 앞서, 알아두어야 할 것들
첫째 날 아이들에게 수학을 어떻게 가르쳐야 할까?
둘째 날 아이들에게 어떤 수학을 가르쳐야 할까?
제2부 1학년부터 6학년까지 가장 쉬운 수학 지도 방법
셋째 날 덧셈 _덧셈은 아이들이 처음 만나는 연산
넷째 날 뺄셈 _뺄셈은 표현만 달라진 덧셈
다섯째 날 곱셈 _곱셈은 덧셈의 다른 얼굴
여섯째 날 나눗셈 _나눗셈은 뺄셈의 다른 얼굴
일곱째 날 분수와 비율 _나와 세상의 관계 이해하기
여덟째 날 도형과 측정 _나를 둘러싼 세상 이해하기
아홉째 날 문장제 문제 풀이
열번째 날 문장제 문제 풀이(실전편)
에필로그 자녀와 함께하는 단 한 번의 추억 여행

따라올 때까지 느긋하게 기다려라
많은 사람들에게 수학이 어려운 이유가 있습니다. 수학은 일상 언어로 전개하는 학문이 아니라 고도로 추상화된 수식을 기본 언어로 다루기 때문입니다. 수식이란 수 또는 양을 나타내는 숫자나 문자를 연산 부호로 연결한 식입니다. 수학책은 수식으로 가득 차 있습니다. 세계 어디를 가도 동일한 수식을 사용합니다. 수식은 만국 공통언어이지요. 수학을 가르치는 사람들이 저지르는 흔한 실수가 있습니다. 예를 들어볼게요. 낯선 장소에 가서 길을 찾아본 경험은 누구에게나 있습니다. 현지의 사람들에게 길을 물어보기도 하지요. 어떤 사람들은 길을 알려주면서 아주 쉽게 찾아갈 수 있을 거라고 말하기도 합니다. 그들은 왜 쉽다는 말을 하는 걸까요? 본인들에겐 그 길이 너무도 익숙하기 때문입니다. 본인에게 익숙하니 상대방도 쉽게 찾을 수 있다고 ‘착각’하는 것이지요. 자녀들에게 수학을 가르칠 때도 마찬가지입니다. 우리에게 너무 익숙하니까 자연스레 “아니, 이것도 몰라?” 하는 볼멘소리가 저절로 튀어나오는 겁니다. 그러나 자녀들은 부모님과 달리 아무것도 모른다는 사실을 명심하세요. 아이들은 엄마나 아빠의 눈짓 하나 숨소리 하나만으로도 상황을 파악합니다. 이미 기가 죽은 상황에서 여러분이 알고 있는 지식을 성급하게 늘어놓는 것은 도움이 되지 않습니다. 이처럼 자신이 알고 있는 지식을 다른 사람에게 알려줄 때 흔히 발생하는 이 무의식적인 현상을 ‘지식의 저주’라고 합니다.
음수의 개념과 같이 우리가 지금 너무도 당연하게 알고 있는 개념들도 처음 나왔을 때에는 수학자들 사이에서도 받아들이기 어려웠습니다. 멀리 갈 필요 없습니다. 여러분의 학창시절을 떠올려보세요. 수학 학습이 마치 어두운 방에서 스위치를 찾는 것처럼 시간이 많이 걸리는 어려운 일 아니었나요? 여러분의 자녀도 마찬가지입니다. 인내심을 갖고 천천히 따라올 때까지 그들을 기다려주시기 바랍니다.
실패나 시행착오를 허용하라
수학의 많은 이론이나 개념은 수많은 시행착오 끝에 밝혀졌습니다. 중학교에서 학습하게 되는 음수와 같은 기본적인 수학 개념은 물론이고 최근에 밝혀진 페르마의 마지막 정리와 같은 난제들은 수백년의 시간에 걸쳐 다듬어진 수학의 내용들입니다. 시행착오는 시행을 해보고 오류를 발견한 후, 이를 극복해 다시 행하는 일을 반복하고 문제를 해결하는 것입니다. 이 시행착오의 과정은 수학 공부에서 매우 중요합니다. 그러나 대부분의 사람들은 모범 답안을 원하고 시행착오를 위험한 일이라고 생각합니다. 물론, 낯선 곳으로 가는 ‘우연의 여행’을 감행하는 것은 쉬운 일이 아닙니다. 우리가 인터넷 검색 결과가 알려준 ‘맛집’이나 SNS 단톡방에서 알려준 ‘그곳’에 가는 것은 앞선 이들의 검증이 주는 안전함 때문입니다. 그래서 우리는 대개 어디로 갈지, 무엇을 먹을지, 어느 숙소에서 묵어야 할지 미리 결정한 다음 여행을 떠납니다. 시행착오를 겪고 길을 잃고 헤매는 것을 불필요한 일이라고 여기는 탓입니다. 공부할 때도 그렇잖아요? 어려운 문제가 나오면 잠시 생각해보다가 곧 모범답안을 펼칩니다. 답안에 나온 풀이를 보면 갑자기 문제가 쉬워지는 놀라운 기적을 경험하면서 해결하곤 하지 않았나요? 여러분의 자녀에게는 실수나 시행착오를 충분히 경험하게 해주십시오. 실수가 ‘나쁜 것’이 아니라는 것을, 시행착오는 ‘모험’이라는 것을 몸소 깨닫게 해주세요. 일상에서도 공부에서도 말입니다. 문제를 풀 때도 전혀 엉뚱한 방향으로 도전해보고, 답도 틀려가면서 한 걸음씩 나만의 이유와 논리를 만들어가는 과정이 꼭 필요합니다. 시행착오를 통해 수학 학습에 대한 자신감을 키워줄 수 있다는 점을 잊지 마시기 바랍니다._<싱가포르에도 ‘수포자’가 있을까?> 중에서

이제 피아제, 딘즈, 프로이덴탈은 물론 이들의 이론을 발전시킨 많은 학자들의 수학 교수-학습 방법을 종합해 초등 수학 지도 원칙을 제시하겠습니다. 초등 수학 3단계 지도법입니다.
1) 1단계 ⇨2단계 (시각화)
언제나 출발은 현실에 기반을 둡니다. 추상적인 수학은 늘 실생활과 관련되어야 하기 때문입니다. 아이들이 좋아하는 사탕이나 과일, 동물과 같은 다양한 예를 들어주면 됩니다. 실생활 맥락은 동그라미나 네모 같은 도형이나 표, 그림을 이용해 시각화할 수 있습니다. 경우에 따라서 바둑돌과 같은 구체물을 이용해도 됩니다. 현실 맥락이 처음 모습과 다른 모델로 전환되었죠? 지각적 다양성의 원리에 따라 여러 모델을 사용하는 것을 추천합니다.
2) 2단계 ⇨3단계 (수학화)
현실 맥락을 바로 수식으로 가져올 수도 있습니다. 사탕 두 개와 세 개를 더해 사탕 다섯 개가 되는 것을 이용해 2 + 3 = 5를 이끌어내도 됩니다. 하지만 이때 모델이 필요한 이유를 재고해야 합니다. 모델은 패턴을 발견할 수 있도록 도와주죠. 여러 모델에서 공통의 패턴을 발견하면 추상적인 수식을 조금 더 자연스럽게 받아들일 수 있습니다. 모델의 세계에서 추상적인 수식의 세계로 이동하는 과정이 바로 수학화입니다.
3) 3단계 ⇨1단계 (반성)
드디어 시각화와 수학화의 과정을 거쳐 추상적인 수식을 이끌어냈습니다. 하지만, 끝난 것이 아닙니다. 다시 현실에 반영해 또 다른 예를 생각해봐야 합니다. 문제 해결 단계에서 이 단계를 반성(Reflection)이라고 합니다. 예들 들어 2 + 3 = 5를 다시 현실에 반영해 시각화, 수학화를 통해 3+ 2 = 5, 5- 3 = 2, 5 -2 = 3과 같이 본질적으로는 같은 구조를 발견하는 것이지요. 딘즈가 말한 수학적 다양성의 원리이기도 합니다.
4) 수학적 연결성
3단계 지도법은 수학의 여러 영역에 동시에 적용할 수 있는 지도방법입니다. 수학은 각 영역이 분리되어 있기도 하지만, 아주 밀접하게 관련되어 있습니다. 이를 수학적 연결성(Mathematical connection)이라고 합니다. 하나의 개념은 또 다른 개념과 어떻게든 연결되어 있지요. 이들의 관계를 제시해주면 다양한 관점에서 수학을 이해할 수 있게 됩니다._<배우고 배워도, 또 배우고 싶게 만드는 전략> 중에서

수학을 포함한 초등학교의 모든 학습의 초점은 아이들이 앞으로 마주하게 될 지식의 바다를 잘 헤쳐나갈 수 있는 배를 만드는 일에 맞춰져야 합니다. 개념을 하나라도 더 알려주기보다 이미 말씀드린 시각화, 패턴 찾기, 추상화, 일반화를 통해 개념을 올바로 학습하는 습관을 기르고, 이를 토대로 내 주변의 문제를 어떻게 해결할 수 있을지 사고하는 경험을 하게 도와줘야 합니다. 견고한 배를 만들 수 있는 수학 공부 습관 몇 가지를 적어봅니다.
첫째, 수학 문제는 반드시 내 손으로 답이 나올 때까지 깨끗하게 푼다
올바른 개념 학습의 중요성과 실천 방법을 이미 말씀드렸습니다. 그렇다면, 개념을 완벽하게 이해하고 있으면, 수학 문제를 잘 풀 수 있을까요? 초등학교에서는 그럭저럭 잘 풉니다. 심지어 개념을 잘 모르더라도 풀 수 있습니다. 하지만, 중학교 수학부터는 상황이 달라집니다. (……) 교사나 부모가 설명해주는 개념을 잘 이해한 것으로 만족하면 안 됩니다. 다른 사람이 자전거 타는 것을 보는 것만으로 내가 자전거를 탈 수는 없는 이치와 같습니다. 수학도 마찬가지입니다. 개념을 듣고 보기만 해서는 완전하게 이해할 수 없습니다. 손으로 끝까지 풀어보는 ‘연습’을 해야 합니다. (……) 특히, 답이 나올 때까지 푸는 연습을 꼭 해야 합니다. 이는 수학을 가르치시는 부모에게도 꼭 필요한 습관입니다.
둘째, 수학 공부는 매일 삼십 분씩 한다
초등학교 입학 전에는 앞, 뒤, 왼쪽, 오른쪽과 같은 방향과 순서를 알아두면 됩니다. 또한 비슷한 물건을 구별하고 하나씩 세보는 연습을 해야 하지요. 그런 면에서 부모와 같이하는 장난감 놀이나 다양한 활동이 아동의 수학적 사고력 향상에 큰 도움이 됩니다. 초등학교 수학 교육도 정상적인 경우라면, 실생활 맥락에서 출발하기 때문에 학습의 연장선상에서도 어린아이들에게는 일상생활이 다 수학 공부가 됩니다. (……) 꾸준하게 매일 하는 학습이 중요합니다. 일주일에 하루 이틀 시간을 내 집중적으로 공부하는 것보다 조금씩 자주 보는 것이 훨씬 좋습니다. 수식이라는 언어로 되어 있는 수학 공부도 마찬가지입니다.
셋째, 백지와 대화하는 연습을 한다
책장을 앞으로 넘겨 밑줄이 가득한 종이를 마주하고 이미 배운 개념을 반복적으로 학습하는 것은 때로 지루한 일입니다. 수학에서 개념을 여러 번 반복 학습하는 가장 좋은 방법은 문제를 풀어보는 것입니다. 문제를 풀다 보면, 내가 알고 있는 개념을 적용할 수밖에 없거든요. 그래서 기계적인 훈련이 아닌 이상, 되도록 많은 문제를 풀어보는 것은 분명히 효과적인 공부법입니다. 개념을 복습하는 또 다른 방법이 있습니다. 백지를 꺼내, 내가 알고 있는 개념을 정리해 직접 적어보는 것입니다. 처음에는 개념이나 원리를 생각나는 대로 다 써봅니다. 그러고는 써놓은 내용을 교과서나 참고서에서 제시된 구조와 비슷하게 조직합니다. 물론 처음에는 단 몇 줄을 쓰기도 어렵겠지요. 하지만, 수학 글쓰기 연습을 이런 식으로 반복하다 보면, 개념이나 원리를 자연스럽게 복습할 수 있으며, 문제를 푸는 과정에서 문제 해결을 위해 필요한 개념이 무엇인지 필요할 때 곧바로 떠올릴 수 있습니다. 더 나아가 개념과 관련된 문제도 스스로 만들 수 있게 됩니다._<중학교 수학을 공부하기 전에 꼭 터득해야 할 것들> 중에서