미적분 다이어리

감사의 글 9
프롤로그: 더 수학적인 사람이 될 수 있을 텐데 15
1장 무한대 너머로 27
2장 미치도록 달리고 싶다 61
3장 카지노 로열 91
4장 악마의 놀이터 125
5장 돈 구경 좀 해볼까? 157
6장 이런 제길! 181
7장 보디 히트 215
8장 현수선 이야기 251
9장 파도타기 여행 277
에필로그: 수학의 미메시스 305
부록 1: 직접 계산해보기 321
부록 2: 좀비 대재앙에서 살아남기 353
옮긴이 말 359
참고문헌 362
찾아보기 369

옮긴이 말 중에서

우리 눈의 주변부는 중심부보다 시력이 나쁘고 색각도 약하지만, 약한 빛을 보는 힘은 더 강하기 때문이다. 요컨대 어두운 곳에서 어떤 대상을 보려면 그것의 ‘주변’을 ‘멍하니’ 바라보아야 한다. 기를 쓰고 대상 자체에 집중하려 들면 오히려 역효과만 나게 마련이다.
억지스러운 유추일지 모르겠으나, 뭔가를 배울 때도 마찬가지일 듯싶다. 쉬운 개념이라면 정면으로 돌파하는 게 효과적이겠지만, 어려운 개념이라면 마음을 비우고 주변 맥락부터 찬찬히 살피는 편이 낫지 않을까?
이 책의 저자 제니퍼 울렛이 미적분에 접근하는 방법도 사실상 그런 ‘맥락 살피기’에 해당한다. 수학 열등생임을 자처하는 영문학 전공자로서 저자는 이를 악물고 미적분 교과서만 파고드는 것이 아니라, 누가 어쩌다 이 몹쓸 미적분을 만들어냈는지, 이놈의 미적분을 도대체 어디에 써먹을 수 있는지, 우리 주변에 미적분의 원리가 숨어 있는 곳은 어디인지 등등부터 느긋하게 알아보려 한다. 이 책은 저자가 그런 식으로 미적분의 주변을 둘러보다 보니 어느새 미적분과 친해져버린 과정을 담고 있다.

뉴턴이 나무에서 떨어지는 사과를 보고 중력의 핵심을 간파했다는 유명한 (하지만 사실이 아닐 듯한) 일화를 생각해보자. 사과의 위치와 속도는 매 순간 변화한다. 물리학자들이 타임 제로(시간 변수 t 값이 0일 때)라고 부르는 시간에는 사과가 아직 나무에 매달려 있다. 몇 분의 1초 후에는 사과가 떨어지기 시작하고, 또 몇 분의 1초 후에는 나뭇가지에서 땅으로 가는 도중이고 등등. 사과는 매우 조금씩(이를 ‘무한소’라 부른다) 낙하하다 결국 땅이나 뉴턴 머리에 떨어진다. 여기서 특정 시각에 대한 사과의 위치를 나타내는 작은 점을 데카르트 좌표계에 하나하나 찍고 연결하면, 포물선의 절반에 해당하는 곡선이 나온다.
곡선을 그린 다음, 뉴턴은 페르마의 이전 연구를 이용해 곡선의 접선 기울기 계산법을 알아냈다. 그 기울기가 바로 미분계수인데, 뉴턴은 이를 ‘유율 fluxion’이라고 일컬었다. 이어서 그는 곡선의 아래 넓이 계산이 정반대 과정에 해당함을 깨달았다. 뉴턴이 통찰한 핵심은 미분계수와 적분의 관계다. 곡선 아래 넓이 계산(적분)은 접선 기울기 계산(미분)의 역이다. 이게 바로 미적분의 기본 정리다.

이것은 미적분 초보자에게 가장 흔한 걸림돌이 된다. 0.9999…라는 개념이 사실상 1과 같다니! 어느 늦은 밤 내가 극한을 이해하려고 끙끙대고 있을 때, 남편 숀은 이걸 끈기 있게 설명해주었다. 하지만 나 역시 이 수학적 사실을 선뜻 받아들이지 못했다. 직관적으로 우리는 분수를 유한합이라고 생각한다. 아무튼 우리는 파이의 19조각을 먹어본 적이 있지 않은가. 하지만 우리는 π나 황금비 φ 같은 무리수에 대해서도 배운다. 무리수에서는 일련의 소수 전개가 그야말로 영원히 계속된다.
바로 그게 내 실수였다. 나는 0.999…가 1에 점점 가까워지되 정확히 그 값에 이르지는 않는 무리수라고 생각했다. 이는 사실이 아니다. 0.999…는 소수부에서 같은 수가 끝없이 반복되는 유리수이고, 따라서 유한합이 있다. 이 무한소수의 극한은 1이다. 이 말은 곧 0.999…가 무한급수가 아니라 일정한 값이라는 뜻이다. 모순 같기도 하지만, 사뭇 다른 두 수학적 표기는 그럼에도 같은 수를 나타낸다. 수학 선생님에게 0.999999…는 1의 다른 표기법일 뿐이다.