수학과 예술

추천사 _ 수학은 우주의 언어다 _ 닐 디그래스 타이슨
서문 _ 수학자와 예술가, 그들의 상호작용 역사

1. 산수와 기하학
고대 수학의 기반: 추상적 관념과 일반화 | 플라톤의 형상론 | 데모크리토스의 기계적 우주 | 공리 방법: 유클리드의 원론 | 기하학적 우주모형 | 이슬람의 수학: 대수학과 아라비아 숫자 | 신플라톤주의와 초기 기독교 | 아시아의 수학: 추상화하지 않은 일반화 | 서양 학문의 부활 | 과학법칙: 갈릴레오의 운동법칙과 케플러의 천체운동법칙 | 뉴턴의 만유인력법칙 | 유신론과 무신론과 세속주의

2. 비율
고전미술의 비율 | 선원근법 | 신성한 비율 | 황금분할 | 다윈 이후의 비율

3. 무한대
유리수와 무리수 | 기하학과 대수학의 융합 | 미적분: 변화하는 현상을 측정하는 도구 | 다차원 기하학 | 확률론 | 칸토어의 실무한과 집합론 | 무한과 ‘절대성’ | 계몽주의의 이성주의에서 자연철학과 생철학까지 | 칸토어의 무한성 철학 | 모스크바의 수학: 환영받는 칸토어 | 절대주의 | 자유의지와 확률 | 절대자의 종말

4. 형식주의
비유클리드 기하학 | 공간 인식: 헬름홀츠의 기하학 | 칸토어의 집합과 같은 플라톤의 형상 | 기하학을 위한 힐베르트의 형식주의 공리: 유클리드 기하학에 숨은 가정 | 일관성은 실재를 수반한다 | 형이상학의 종말 | 형식주의 미학: 수학과 예술의 자율성 | 러시아 수학과 언어학의 형식주의 | 형식주의 비평과 문학 | 러시아 구성주의 예술: 타틀린과 로드첸코 | 폴란드의 우니즘: 스체민스키와 코브로 | 형식주의, 의미론 그리고 형식주의의 의미론

5. 논리
주장의 귀납논리: 아리스토텔레스의 삼단논법 | 라이프니츠의 보편언어와 추론연산학 | 상징주의 논리학 | 프레게의 산술과 술어논리학 | 언어학 | 영국의 분석철학 | 러셀과 화이트헤드의 《수학원론》 | 논리적 원자론 | 논리와 예술: 로저 프라이의 형식주의적 비평 | 버지니아 울프 | 영국의 조각: 헨리 무어와 바버라 헵워스 | 영국 문학 형식주의: 토머스 스턴스 엘리엇과 새로운 비평문화 | 제임스 조이스

6. 직관주의
네덜란드의 월든 | 브라우어르의 근본적 시간직관 | 위상기하학 | 셈어와 기호학 | 몬드리안과 상징주의 | 스훈마르케스 | 데스틸

7. 대칭성
결정학 | 그룹이론 | 가장 추상적인 기하학: 리군과 클라인의 에를랑겐 프로그램 | 물리학과 우주론의 대칭 | 자연의 힘의 통합 | 장식예술의 대칭 | 정신의 대칭: 게슈탈트 심리학 | 1930년대와 1940년대 스위스의 구체미술

8. 1차 세계대전 이후의 유토피아 세계관
현상학에서 실존주의까지 | 힐베르트의 프로그램 | 논리실증주의와 빈학파 | 양자역학 | 코펜하겐 해석 | 드브로이-봄 해석 | 양자 얽힘 | 러시아 구성주의의 사절: 엘 리시츠키 | 1920년대 독일의 기하추상 | 형이상학을 제거한 디자인 | 수학모형 | 시카고의 새로운 바우하우스

9. 수학의 불완전성
메타수학, 완전성 그리고 일관성 | 비트겐슈타인의 선언 | 괴델수: 증명에서 계산까지 | 수학의 불완전성을 증명한 괴델 | 20세기 초반 메타예술 | 불가능한 사물 | 비트겐슈타인의 언어게임 | 영미식 언어 예술 | 중국의 언어 예술

10. 계산
계산 가능성부터 컴퓨터에 이르기까지 | 음악에 공리적으로 접근하는 방식 | 기계계산 시대의 예술작품 | 보편주의 | 미국과 일본 예술의 동서양 결합 | 양자 신비주의

11. 2차 세계대전 이후의 기하추상
2차 세계대전 이후 스위스의 구체미술 | 프랑스의 형식주의 수학: 니콜라 부르바키 | 프랑스의 형식주의 문학: 울리포 | 프랑스의 옵티컬 아트 | 부르바키의 종말 | 영국 | 라틴아메리카 | 북아메리카 | 미국의 미니멀아트 | 비대칭: 로버트 스미스슨

12. 수학과 예술에서의 컴퓨터
소진 증명 | 컴퓨터 시각화 | 매듭 | 네트워크 | 종이접기 | 재귀적 알고리즘 | 프랙탈 기하학 | 과학, 기술, 예술의 재귀 알고리즘

13. 탈근대 시대의 플라톤주의
표준모형과 초대칭성 탐색 | “우리는 작은 성단이다” | ‘진실’, 진실과 확실성

주석
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수학은 우주의 언어다. 어쩌면 수학은 단순히 우주를 묘사하는 것이 아니라 우주 그 자체일지도 모른다. (…) 수학이 철학자와 예술가에게 도저히 뿌리칠 수 없는 뮤즈였다는 것은 놀랍고도 당연한 일이다. 예술가의 본무 중 하나는 비예술가인 우리가 경험하는 세계와 우리 안의 세계를 해석하도록 돕는 게 아닐까? 수학이 이 세계를 묘사하는 이상 관찰력 있는 예술가는 수학을 받아들여 표현할 수밖에 없고, 이는 모두에게 영향을 미친다.
- 닐 디그래스 타이슨Neil deGrasse Tyson, 추천사 중에서

수학 관련 책을 읽는 비전공자는 보통 수학의 비밀이 이해할 수 없는 기술언어로 쓰여 있다는 점에 실망한다. 내 목표는 명확한 기호와 일치하는 도해나 숫자, 무한대, 기하학 패턴 같은 수학의 핵심 아이디어를 명확한 언어로 설명하는 데 있다. 또 역사적으로 수학 기호·도해·패턴이 어떻게 그림을 사용한 추상 개념의 시각화에 영향을 미치고 예술가에게 영감을 주었는지, 어떻게 전 세계 건축가가 이 소박한 어휘로 우뚝 솟은 도시를 설계했는지 탐험한다. 나아가 수학이 그 추상적인 성질로 인해 정확한 사고력의 국제언어로 쓰이게 된 과정을 살펴본다.
실천수학은 석기시대 초기 사람들이 돌을 깨던 것으로 출발해 지구와 하늘에서 숫자나 기하학 형태를 찾는 행위로 이어졌다(그림 0-1). 고대부터 현대까지 수학의 역사를 이어가는 실마리는 수학철학과 실천수학으로 구분할 수 있다. ‘확실한 지식이란 무엇인가?’(인식론), ‘숫자란 무엇인가?’ 또는 ‘숫자는 어떻게 존재하는가?’(형이상학) 등을 질문한 플라톤 같은 이들은 수학철학을 연구했다. 반면 ‘삼각형 세 각의 합은 180°인가?’(기하학) 혹은 ‘소수에 패턴이 있는가?’(산술)라는 질문을 던진 유클리드를 비롯한 수학자는 실천수학 쪽이었다. 계몽주의 시대 학자이자 플라톤 전통의 형이상학 저서 《모나드론Monadology》(1714년)을 집필한 고트프리트 라이프니츠 같은 수학자는 양쪽 모두에 해당한다.
- 수학자와 예술가, 그들의 상호작용 역사

중세유럽은 결국 유클리드와 프톨레마이오스의 지식을 잃어버렸지만 이슬람 학자들은 비잔틴의 그리스어 문헌을 아랍어로 번역해 보존했다(그림 1-39). 9세기 칼리프들은 학자들이 해외(특히 그리스)의 수학과 철학 지식을 번역하고 자신의 고유 사상을 표현하도록 바그다드에 지혜의 집을 건설했다. 프톨레마이오스의 저서 13권은 오늘날 아랍 학자들이 명명한 《알마게스트Almagest》(아랍어로 ‘가장 위대한’이라는 뜻)로 알려져 있다. 그리스 수학을 토대로 중요하고 획기적인 것도 발견했는데, 그중에는 이슬람 학자들이 인도 수학에서 0과 숫자 자리를 받아들인 것도 포함되어 있다(그림 1-37).
유클리드에게는 일반적인 산술 연산을 다루는 표기법이 없었다. 이슬람 수학자 알 콰리즈미는 AD 825년쯤 숫자의 일반적인 속성을 표현하는 데 숫자 대신 알파벳을 사용할 수 있음을 깨달았다. 예를 들어 x+y=y+x는 두 숫자의 합은 순서와 상관없이 같다는 사실을 표현한다. 여기에서 x와 y는 변수로 임의의 두 숫자를 대신 사용할 수 있다. 결국 알 콰리즈미는 산술을 일반화하고 대수학(대수학Algebra은 아랍어로 ‘복원’을 뜻하는 ‘al-jabr’가 그 어원이다)을 창시했다. 우리는 이 대수학을 이용해 ‘2+x=5일 때 x의 값은 무엇인가?’라고 물을 수 있다.
- 이슬람의 수학: 대수학과 아라비아 숫자