악학궤범 新연구

머리말 002
모둠글 006

초장 음악의 수학적 본성
0.1 대각선논법과 음악_018
0.2 군론과 음악_038

제1장 작율론과 피타고라스 콤마
1.1 피타고라스 콤마라는 난제를 만나다_052
1.2 배음/음정의 비례와 대각선 논법_075
1.3 람도마와 대각선 논법_084
1.4 원도와 대각선 논법_093
1.5 평균율과 대각선 논법_111

제2장 율려의 3분손익법과 대각선 논법
2.1 율려와 피타고라스 콤마_156
2.2 자연로그와 삼분손익법의 인자진수_180
2.3 콤마와 자연로그함수_197
2.4 평행률선과 피타고라스 콤마_210
2.5 격팔상생과 피타고라스 콤마_237

제3장 율려신서와 피타고라스 코마의 문제
3.1 율려신서의 배경과 역사_254
3.2 궁선법과 대칭의 문제_264

제4장 악학궤범과 대각선 논법
4.1 궁선법과 60조도_280
4.2 60조도와 연속체 가설의 문제_299
4.3 7성과 12율의 용률의 문제_320
4.4 ‘상하일이지법’과 윷판_346
4.5 평조와 계면조, 그리고 대각선 논법_371

부록
부록1 '소리의기원', 9와 10의 문제_396
부록2 정다면체 이론으로 본 60조론_404
부록3 5성과 7성: 왜 5성에 2변음이 추가 되는가?_411
부록4 프랑크 상수h와 피타고라스 콤마_425
부록5 상대성 원리와 초과분의 문제_439

참고문헌_457
찾아보기_461

대각선 논법이란?
‘대각선 논법’이 없었더라면 지금 내가 책상머리에 앉아서 컴퓨터 작업 자체를 할 수 없었을 것이다. 왜냐하면 튜링의 컴퓨터 발명 자체가 칸토어의 대각선 논법이 없었더라면 불가능했기 때문이다. 컴퓨터가 역의 2진법을 적용했다는 정도는 잘 알려진 사실이지만, 그것보다 더 근본적인 것은, 지금 우리가 사용하는 컴퓨터는 그 이전에 대각선 논법이 없었더라면 세상에 나타나지 못했을 것이다.

음악과 수학을 직접 연결한 장본인은 피타고라스(기원전 582년경-497년경)이다. 피타고라스가 대장간 앞을 지나다가 해머의 무게에 따라 음의 고저가 달라지는 것을 발견한 것은 뉴턴이 만유인력을 발견한 일화만큼이나 유명하다. 타악기와 연관이 되는 일화이다. 현악기는 현의 길이에 따라 음의 고저가 달라진다는 데 착안한 피타고라스는 현의 길이와 진동수 간에는 역분수逆分數의 관계가 성립하는 사실을 발견한다. 이 단순한 발견이 2500여 년 동안의 서양 음악사를 장식한다. 그러나 그의 음계에 예기치 않았던 초과음이 나타난다. 초과음을 ‘피타고라스 콤마’라 한다. 이에 대한 처리를 순정률pure temperament이라고 한다. 이 순정률은 16세기 바흐에 의해 평균률equal temperament로 변한다. 동양 음악사에도 피타고라스 콤마와 동일한 것이 나타난다. 이를 처리하는 방법을 두고 ‘삼분손익법三分損益法’이라 하고, 이를 다루는 분야를 ‘율려’라 한다. 역이 율려의 배경이다. 한국의 세종 대에 들어와 삼분손일법이 ‘악학궤범樂學軌範’에서 획기적으로 정리된다. 그런데 지금까지 음악사는 피타고라스 콤마가 생겨나는 결과만 다루었고 그것을 처리하는 방법, 즉 순정율과 평균율을 언급하고 있을 뿐 초과분에 대한 근본적인 원인에 대해서는 다루지 않은 것 같다. 필자는 그 원
인을 아는 첩경은 칸토어의 집합론과 대각선 논법 그리고 갈루아의 군론에서 찾을 수 있다고 판단, 이 점에 착안하였다. 동양의 삼분손익법 역시 두 가지 현대수학의 관점에서 이해되고 있다. 다시 말해서 피타고라스 콤마의 정체 그리고 그것이 생기는 원인과 이유를 대각선논법과 군론에서 찾고 있다.

동서음악이 피타고라스 콤마의 문제를 공유하고 있는 것이 위에서 쟁점으로 거론되었다. 피타고라스 콤마를 ‘초과분’이라고 정의할 때에 이러한 정의는 4과학인 천문, 수학, 기하학, 음악에 어디서나 발견된다. 예를 들어서 천문학에서 초과분이란 윤달과 윤일에 해당되는 것이다. 12벽괘에서는 감괘와 리괘가 초과분에 해당하는 것으로서 주자는 제거를 다산은 수용을 해야 한다고 한다. 콤마 하나를 놓고 동양과 서양이 갈라지고, 같은 동양 안에서도 중국과 우리가 갈라진다.