세계사가 재미있어지는 20가지 수학 이야기

서문

Ⅰ. 수학 이야기

1. 우임금의 치수부터 알브레히트 뒤러의 <멜랑콜리아>까지
대홍수 전설 | 대우치수와 낙서 | 동양의 마방 플레이어 | <멜랑콜리아>를 그린 뒤러

2. 마르코 폴로와 아라비아 숫자의 여행
영(0)과 인도 숫자 | 아라비아를 유람한 여행가 | 번역 시대와 비잔티움 | 마르코 폴로의 여행

3. 수탉, 암탉, 병아리 그리고 토끼
당나라의 수학 교과서 | 수탉, 암탉, 병아리 | 중세 이탈리아 | 피보나치의 토끼

4. 황금분할과 오각별 이야기
황금분할과 황금사각형 | 오각별과 정오각형 | 플라톤에서 케플러까지

5. 자전거 발명과 리만 기하학
누가 일륜차를 발명했을까? | 자전거를 발명한 사람 | 신행태보와 로봇 | 리만의 비유클리드 기하학

6. 심오한 통계: 제갈량이 화살을 얻은 이야기부터 셰익스피어까지
정치산술에서 통계학까지 | 초선차전은 가능한 일이었을까? | 가우스의 정규 분포 곡선 | 셰익스피어의 시문과 기일

7. 세계 최초 암호, 에니그마에서 튜링까지
펠로폰네소스전쟁 | 오퍼레이션 리서치와 에니그마 | 레예프스키와 튜링

Ⅱ. 수학자 이야기

1. 최초로 이름을 남긴 수학자 탈레스
밀레투스의 탈레스 | 명인의 눈에 비친 탈레스 | 다재다능했던 탈레스

2. 주인 집안 출신 조충지
완원이 편찬한 『주인전』 | 조충지와 원주율 | 구의 면적과 대명력 | 지남차와 천리선

3. 다리를 만들고 싸움을 할 줄 알았던 진구소
다리를 만들 줄 알았던 기상학자 | 싸움을 할 줄 알았던 수학자 | 중국인의 나머지 정리

4. 나폴레옹과 그가 아낀 수학자
나폴레옹 보나파르트 | 우뚝 솟은 피라미드 | 프랑스의 뉴턴 | 황제의 절친한 친구

5. 황제, 여제 그리고 수학의 대가
유클리드와 아르키메데스 | 2월과 로마의 통치자 | 오일러와 러시아 여제 4인

6. 결혼, 바스카라에서 라마누잔까지
인도 왕과 체스 | 딸을 위해 책을 쓴 바스카라 | 천재 라마누잔 | 열 살 신부와 결혼하다

7. 폰 노이만의 가족모임과 훌륭한 스승들
예리하고 민첩한 뇌 | 전형적인 유대식 교육 | 점심시간의 가족모임

8. 포로수용소, 면화점 그리고 석좌교수
옥중에서 인재가 된 퐁슬레 | 소상인의 아들, 화뤄겅 | 직위를 능력 있는 사람에게 물려준 배로와 천젠궁

Ⅲ. 재미있는 수학 문제

1. 음양의 조화를 이룬 완전수 이야기
완전수란? | 『기하학 원론』 | 니코마코스 | 메르센 소수 | 오일러의 증명 | 뤼카  —  레머 소수 판별법 | 완전수 문제 | 제곱 완전수

2. 이집트 분수와 디도 여왕
이집트 분수 이야기 | 디도 여왕의 물소 가죽 | 톨스토이의 소설

3. 대칭수와 가쿠타니 추측
회문수 또는 대칭수 | 황당하게 쏟아지는 우박 | 가쿠타니 추측의 일반화

4. 뷔퐁의 실험과 몬테카를로
재미있는 바늘 실험 | 뷔퐁의 바늘 문제 실험 데이터 | 뷔퐁의 바늘 문제 증명 | 왕립식물원 원장 | 몬테카를로법

5. 공 쌓기 문제와 케플러의 추측
탐험가 겸 작가 롤리 | 가정교사 해리엇 | 케플러의 눈송이와 추측

후기
찾아보기

그중 가장 중요하면서도 영향력이 있었던 인물은 수학자 겸 천문학자인 알콰리즈미(Al-Khw?rizm?, c. 780~c. 850)다. 그가 과거 페르시아 국교인 배화교를 믿었다는 점을 근거로 추측해보면 그는 순수한 아라비아인이 아니라 페르시아인 후손일 가능성이 높다. 적어도 정신적으로는 페르시아 쪽에 가까웠을 것이다. 529년 동로마제국의 유스티니아누스 황제(Iustinianus I, 재위 527~565)가 플라톤의 아카데메이아를 폐쇄하라고 명한 뒤 많은 그리스 학자가 페르시아로 건너가 문명의 씨앗을 뿌렸다고 전해진다. 아라비아어에 정통한 알콰리즈미는 지혜의 전당을 이끄는 지도자로 활동했다.
알콰리즈미는 수학 분야에서 훌륭한 두 작품을 남겼다. 그중 하나가 대수학 역사상 가장 중요한 책으로 평가받는 『알자브르와 알무카발라(Kit?b al-jabr wa al-muq?balah, 적분과 방정식의 책)』다. 여기서 알자브르는 이항, 알무카발라는 동류항 정리를 의미한다. 820년 무렵 세상에 선보인 이 책은 12세기에 라틴어로 옮겨지며 유럽에 지대한 영향을 끼쳤다. 알자브르는 라틴어로 ‘알게브라(algebra)’라고 번역되었고 이것이 바로 오늘날의 ‘대수학’을 말한다. 즉 이집트인은 기하학을 발명하고 아라비아인은 대수학의 이름을 지은 것이다.
유럽은 수 세기 동안 동양학자 알콰리즈미의 저서를 교과서로 사용했는데 유럽에서 이는 매우 드문 일이다. 길고 긴 유럽의 암흑시대가 마무리 단계에 접어들고 프랑스인 최초로 로마 교황 자리에 오른 실베스테르 2세(Pope Sylvester II, 재위 999~1003) 시대에 그리스 수학과 과학 분야의 권위 있는 저작이 서유럽에 전해지기 시작했다. 아라비아인이 수 세기 동안 거의 완전무결하게 보존한 그리스인의 학술 저서가 유럽으로 되돌아간 것이다.
그리스어에서 아라비아어로의 번역은 주로 바그다드의 지혜의 전당에서 완성했지만 아라비아어에서 라틴어로의 번역 경로는 비교적 다양했다. 대표적으로 스페인의 옛 성 톨레도(훗날 이 도시에 수많은 유럽 학자가 몰려든다), 시칠리아(한때 아라비아인의 식민지였다), 바그다드와 콘스탄티노플(외교관이 많다)에서 번역이 이루어졌다.

― 본문 「번역시대와 비잔티움」 중에서

기원전 6세기의 어느 날 대장간을 지나가던 피타고라스는 쇠를 두드리는 소리가 듣기 좋아 잠시 걸음을 멈추고 귀를 기울였다. 그때 피타고라스는 대장장이가 쇠를 두드리는 소리의 높낮이와 망치의 중량 사이에 어떤 연관이 있다는 사실을 발견했다. 결국 그는 중량이 다른 망치가 내는 소리 간의 비례 관계를 비교하며 다양한 톤의 수학 관계를 측정했다. 어쩌면 이것이 나중에 그가 황금분할률을 탐구하게 된 시발점일지도 모른다.
더 나아가 음악에 담긴 숫자 비례를 발견한 피타고라스는 ‘만물은 수’라는 관점을 제시했다. 이는 우주 조화론의 주요 논점으로 훗날 플라톤이 계승했다. 우주는 대폭발에서 기원했다는 이론으로 유명해진 러시아계 미국 물리학자 조지 가모(George Gamow, 1904~1968)는 이렇게 찬탄한 바 있다.
“음악과 숫자 비례 사이에서 발견한 비밀은 물리학 법칙이 표현한 첫 번째 수학공식이다.”
황금분할률은 무리수라 두 자연수의 비율을 표시할 수 없기 때문에 오로지 손만 사용하거나 직선자만으로는 오각별을 정확히 그릴 수 없다. 공식적으로 쓰이지 않는다면 정확하지 않은 오각별은 오히려 편안한 느낌을 준다. 하지만 오각별을 국기나 국장(國章), 다른 공식 장소에서 사용할 경우에는 정확해야 한다. 정확한 오각별을 작도하려면 컴퍼스와 직선자(눈금이 없어도 된다) 같은 도구가 필요하다. 이렇게 ‘자와 컴퍼스를 이용한 작도법’을 유클리드 작도법이라고도 한다.
오각별은 여러 가지 방법으로 작도할 수 있다. 다음에 소개하는 방법은 간단하긴 해도 머리를 좀 써야 하므로 골치 아프면 건너뛰어도 좋다.
1. 백지에 임의로 원 O(원심도 O)를 그린다. 그 위에 서로 수직인 지름 AB와 CD를 그린다. OB의 중점 E와 C를 연결하면 CE가 되는데 이를 도식화할 경우 그림 (a)와 같다.
2. E를 원심, CE를 반지름으로 하고 원호를 그렸을 때 OA와 만나는 점을 F라고 한다. C를 원심, CF를 반지름으로 하고 원호를 그렸을 때 원 O와 만나는 점을 G라고 한다. 또 G를 원심, CF를 반지름으로 하고 원호를 그렸을 때 원 O와 만나는 점을 H라고 한다.
이런 식으로 그리면 점 M과 N을 얻는다. 결국 C, G, H, M, N이라는 5개 점, 즉 원 O의 오등분점이 생기는데 이를 도식화하면 그림(b)와 같다.
3. CH, CM, GM, GN, HN을 연결하면 그림 (c )와 같이 오각별이 생긴다.
1796년 열아홉 살이던 독일 수학자 가우스(Carl Friedrich Gauss, 1777~1855)는 이 작도법을 증명하고 이것과 페르마 소수 간의 비밀스러운 관계도 발견했다.

― 본문 「오각별과 정오각형」 중에서

중국 고전 소설에는 명궁수가 자주 등장한다. 원문사극(轅門射戟, 150보 거리에 놓아둔 창의 장식 술을 화살로 쏘아 맞추다)한 여포, 삼전정천산(三箭定天山, 화살 3개로 천산을 평정하다)한 설인귀, 백보천양(百步穿楊, 백보 앞에 있는 버드나무 잎을 향해 화살 백 발을 쏘아 모두 맞추다)한 양유기 등이 그 예다.
한편 이길 수 없어서 활을 쏜 예도 상당히 많다. 청나라 여련거사(如蓮居士)의 전기 소설『설당연의전전(說唐演義全傳)』(당나라 건국 이야기를 묘사한 소설.???옮긴이)에 나오는 나성은 무예가 뛰어났지만 결국 진흙탕에 빠져 빗발치는 화살에 맞아 숨을 거둔다. 일반 병사의 활쏘기 기술은 신궁처럼 정확하지 않았다. 만약 이들이 한 번 에 목표물을 명중할 확률을 0.1로 보면 실패할 확률은 0.9다. 두 번 연속 실패할 확률은 0.9×0.9=0.81이다. 이런 식으로 유추해 보면 100번 모두 실패할 확률은 0.9(100)≒0.003%이고 최소한 한 번 명중할 확률은 다음과 같다.

1-0.003-99.997%

목표물을 최소 세 번 명중해야 하는 경우라도 그 확률은 98.41퍼센트로 상당히 높다. 결국 명궁을 찾으려 애쓰기보다 병사 100명이 일제히 화살을 쏘게 하는 편이 더 효과가 좋다고 볼 수 있다. 나관중(羅貫中)의 역사 소설 『삼국지연의(三國志演義)』에는 장판파에서 조자룡이 혈혈단신으로 기세등등한 조조군에게 달려들어 유비의 아들 아두를 구해내는 장면이 나오는데 여기에는 화살을 쏘지 못하게 한 조조의 명령도 한몫했을 것이다.
한편 적벽대전(赤壁大戰) 전야에 벌어진 초선차전(草船借箭), 즉 제갈량이 풀단 실은 배로 화살 10만 개를 얻은 이야기를 보자. 나관중이 묘사한 바에 따르면 제갈량은 짙은 안개가 자욱한 강을 따라 풀단 실은 배 스무 척을 조조군 영채 가까이 보냈다. 그러고는 군졸들에게 북을 치며 소란을 피우라고 명했다. 조조군은 안개 속에서 함성이 들려오는 방향으로 화살을 퍼부었다. 명중할 확률은 0.1에도 미치지 못했을 테고 중간에 다른 쪽 병사들이 활을 쏠 수 있도록 배를 백팔십도 돌려야 했다. 명중할 확률을 최대로 잡아 0.1이라고 가정해도 화살을 최소한 100만 개 이상 발사해야 한다. 당시 조조군 궁수는 1만 명 정도였으니 한 사람당 100발 넘게 쏴야 한다는 계산이 나오는데, 전문가들은 당시 화살통에 화살이 20?30개 들어갔으므로 한 사람이 100발을 쏘는 건 불가능하다고 분석했다. 이는 한마디로 제갈량의 ‘초선차전’ 이야기는 허구에 가깝다는 의미다.

― 본문 「초선차전은 가능한 일이었을까?」 중에서