수학은 스토리다

머리말 004

1. 수와 기하의 탄생 013

수 감각과 수 세기는 다르다 013 | 손가락의 모양이 수가 되었다 016 | 진법은 묶음 세기다 019 | 진법은 문명에 다양하게 나타난다 021 | 컴퓨터는 2진법일 수밖에 없다 026 | 기하는 땅 나누기로 시작했다 029 | 삼각형은 가장 튼튼한 도형이다 031 | 육각형은 경제적이다 032 | 삼각형으로 원의 면적을 재다 033 | 원이 아닌 곡선은 타원, 포물선, 쌍곡선이 있다 039 | 기하, 건축에 영향을 미치다 045 | 기하, 예술에 영향을 미치다 047

2. 수에 관한 학문, 수학 050

수학이 탄생하다 050 | 피타고라스는 학파의 이름이기도 하다 052 | 기하에서 비례는 중요하다 055 | 기하에는 왕도가 없다 061 | 유클리드는 수학의 증명을 발전시켰다 063 | 무리수는 존재한다 069

3. 수를 다루는 방법의 역사 074

0은 수학의 위대한 발명이다 074 | 사칙연산에는 약속이 들어 있다 077 | 소수가 분수보다 더 유용할 때가 있다 080 | 배수로 증가할 때 실수하기 쉽다 084 | 로그는 근대의 슈퍼컴퓨터였다 088

4. 수학 기호와 용어의 역사 095

등호(=) 096 | 비슷하지만 다른 용어 101 | 소수 104 | 연산 기호 107 | 미지수 기호 109| 벡터 111 | 실수와 허수 113 | 좌표계 118 | 무한 123 | 극한 126 | 위상수학 129 | 라디안(Radian) 135 | 행렬 140 | 충분조건 필요조건 141

5. 문제를 해결하는 방법, 방정식 142

방정식은 고대부터 사용되었다 142 | 방정식이 필요한 이유가 있다 145 | 2차 방정식의 일반형 147 | 근의 공식은 4차 방정식까지만 있다 149 | 완전제곱식의 다차원 방정식에는 패턴이 있다 155

6. 함수 이야기 158

방정식과 함수는 다르다 158 | 짝짓기 게임에는 함수가 있다 160 | 사다리 타기에는 일대일대응이 있다 162 | 그래프를 보면 미래가 보인다 165

7. 세상의 모든 변화를 담은 미적분 176

적분이 미분보다 먼저 탄생했다 176 | 기하와 미분이 만나다 180 | 전염병의 끝은 미분으로 예측 가능하다 182 | 적분은 고대의 기하학부터 시작되었다 183 | 소리와 빛에는 삼각함수가 있다 187

8. 일상생활에 숨어 있는 수학 190

패턴의 과학, 수열 190 | 확률, 도박에서 시작되었다 195 | 보험에는 확률이 숨어 있다 199 | 전문가도 확률을 틀릴 때가 있다 200 | 현대는 통계가 지배한다 203 | 평균이 말해주지 않는 것이 있다 206 | 스포츠는 통계학과 친하다 211 | 통계는 그래프가 중요하다 213

9. 수학이 스토리인 이유 216

철학자들 수학을 예찬하다 216 | 수학은 언어다 218 | 상상은 증명으로 이어진다 220 | 수학은 발견일까 발명일까? 224 | 수학 사고력이 중요하다 226 | 수학은 스토리로 공부해야 한다 229

부록 233
참고도서 236
찾아보기 249

도형을 구성하는 기본 재료는 점, 선, 면입니다. 기하학자들은 이들에 특수한 성격을 부여했습니다. 점은 크기가 없고, 선은 두께가 없고 면적은 길이와 폭만 있다고 ‘약속’합니다. 무슨 말일까요? 풍경을 그리는 장면을 생각해보세요. 바람을 표현하고 싶어요. 눈에 보이지 않는 바람을 표현하기 위해 어떤 사람은 몇 개의 선을 그려 넣습니다. 그림을 보는 사람은 ‘아, 바람이 있구나’ 합니다. 도형에서 점, 선, 면도 마찬가지입니다. 점, 선, 면은 보이지 않는 것인데 보이게 하면서도 ‘실제로는 없는 것처럼’ 제한을 두는 것이지요.

피타고라스는 음악의 모든 화성이 간단한 정수비(분수)로 이루어진다는 진리를 밝혀내게 됩니다. 이 발견 이후로 학자들은 아무리 사소한 물리적 현상이라 해도 그것을 설명하는 수학 법칙을 찾아내려고 애를 썼으며, 그 결과 모든 자연현상은 ‘수’로 표현할 수 있다는 사실이 세상에 알려지기 시작했습니다.

사칙연산에는 먼저 계산하는 순서가 있습니다. 5+7×3=? 가장 간단한 문제인데 의외로 틀리는 사람이 많습니다. 앞에서부터 계산하기 때문입니다. 수학을 잘하는 사람에게 물어보면 곱셈(나눗셈)을 먼저 계산하자는 약속을 했기 때문이라고 말합니다. 틀린 말은 아니지만 뭔가 설명이 부족하게 느껴집니다. 5+35=? 누구나 다 40임을 압니다. 그런데 35를 약수로 표현하면 5×7이 됩니다. 식을 풀어쓰면 5+5×7이 됩니다. 이때 덧셈을 먼저 하면 다른 답이 나옵니다. 35가 아니더라도 모든 수는 두 가지 수의 곱으로 표현할 수 있습니다. 예를 들면 2는 1×2라고 표현할 수 있죠. 그런데 3+2의 식은 3+1×2와 같은데 3+1을 먼저 계산할 수는 없겠죠.