네모 속의 수학

들어가며
1장. 수
1.1 수의 선 1.2 위치수체계 1.3 거듭제곱 1 .4 과학적 표기법 1.5 소수 1.6 거대소수 1.7 암호방식
1.8 유리수와 무리수 1.9 복소수 1.10 미해결 소수 문제
2장. 도형
2.1 삼각형 2.2 다각형 2.3 원 2.4 삼각법 2.5 단측 도형 2.6 기하학의 유클리드 공리 2.7 쌍곡기하학
2.8 위상기하학 2.9 고차원 2.10 푸앵카레 추측
3장. 방정식
3.1 변수와 상수 3.2 데카르트 좌표 3.3 이차방정식 3.4 삼차방정식 3.5 오차방정식 3.6 다항식 3 .7 멱함수 법칙
3.8 복리와 e 3.9 오일러의 등식 3.10 페르마의 마지막 정리
4장. 극한
4.1 피보나치와 φ(파이) 4.2 극한 4.3 극한의 정의 4.4 변화율과 미적분 4.5 기하급수 4.6 무한합과 수렴
4.7 기이한 무한합들 4.8 제논의 역설 4.9 연분수 4.10 미적분은 누가 만들었나?
5장. 확률
5.1 대칭과 빈도 5.2 무작위성과 정규성 5.3 확률의 법칙 5.4 베이즈의 정리 5.5 대수의 법칙 5.6 정규분포
5.7 무작위 대조 실험 5.8 유의수준 5.9 상대위험도 5.10 검사의 오류

6장. 곡선
6.1 현수선 6.2 타원 6.3 쌍곡선 6.4 접선 6.5 접촉원 6.6 표면 곡률 6.7 타원곡선 6.8 극소곡면
6.9 자이로이드 6.10 일반상대성이론
7장. 패턴과 대칭
7.1 변화에 대한 저항으로서의 대칭 7.2 강체운동 7.3 프리즈 패턴 7.4 벽지 패턴 7.5 타일링 7.6 비주기 타일링
7.7 대칭 해(解) 7.8 뇌터 정리 7.9 그룹이론 7.10 유한단순그룹
8장. 변화
8.1 재귀관계 8.2 끌개 8.3 주기성 8.4 나비효과 8.5 카오스 8.6 날씨 예측 8.7 망델브로 집합 8.8 삼체 문제
8.9 미분 방정식 8.10 나비에스토크스 방정식
9장. 논리
9.1 논리 규칙 9.2 공리체계 9.3 페아노 공리 9.4 진리표 9.5 불 대수 9.6 귀납적 증명 9.7 모순에 의한 증명
9.8 컴퓨터 증명 9.9 괴델의 불완전성 정리 9.10 어떤 공리들?
10장. 무한대
10.1 잠재적 무한과 실재적 무한 10.2 자연에서의 무한대 10.3 프랙털 10.4 집합원의 개수 10.5 가산 무한대
10.6 유리수와 무한대 10.7 비가산 무한대 10.8 실수와 무한대 10.9 칸토어의 낙원 10.10 연속체 가설
용어 설명
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보통 종이띠 한 장은 앞면과 뒷면 두 개의 면을 가지고 있다. 그런데 뫼비우스의 띠(M?bius strip)는 몇 개의 면을 가지고 있을까? 뫼비우스의 띠를 만든 후 중심을 따라 펜으로 선을 그려보자. 처음 시작한 점에 닿을 때까지 계속 그려보라.
종이띠를 비틀지 않고 양쪽 끝을 연결해놓으면 띠의 바깥쪽 고리나 안쪽 고리 중 단지 한 고리만을 그릴 수 있을 것이다. 하지만 뫼비우스의 띠를 가지고는 어떤 두 점도 선으로 이을 수 있다. 두 개의 점이 원래 종이띠의 각각 반대 면에 있더라도 마찬가지다. 따라서 뫼비우스의 띠는 바깥쪽 면이나 안쪽 면이 따로 없다. 곧 한 면만 가지고 있다.
_ [2.5 단측 도형]에서

프랑스의 수학자 르네 데카르트(Rene Descartes, 1596∼1650)는 어느 날 벽 위의 파리를 바라보며 침대에 누워 있었다(이야기는 그렇게 흘러간다). 그는 그 파리의 위치를 어떻게 하면 가장 잘 설명할 수 있을까 고민하다가 오늘날 데카르트 좌표라 불리는 것을 창안했다.
평면 위의 한 점(예를 들면 벽 위에 있는 파리의 위치)을 구체화하려면 가장 먼저 교차하는 두 개의 수직선을 그리고 그 교차점을 ‘0’이라 한다. 이후 각 점은 두 개의 좌표로 결정되는데, 첫 번째 좌표는 ‘0’으로부터의 수평거리, 두 번째 좌표는 ‘0’으로부터의 수직거리다. 통상 첫 번째 좌표는 x-좌표, 두 번째 좌표는 y-좌표라 부른다.
그러면 대수적 방정식의 좌표는 어떻게 나타낼까? 수식 y=2x를 가정해보자. 그리고 이 수식을 만족시키는 좌표 (x, y)의 모든 점을 찾아보라. 다시 말해, (x, 2x)의 형태를 가진 좌표의 점을 찾아보자. 점 (1, 2)와 (2, 4)가 해당되듯이 점 (0, 0)도 여기에 부합한다. 조금 더 생각해보면 이 수식을 만족시키는 점은 모두 (0, 0), (1, 2), (2, 4)를 연결하는 직선 위에 있다. 사실 그 방정식이 이 직선을 정한다.
_ [3.2 데카르트 좌표]에서

우리는 삶의 모든 곳에서 변화율을 경험한다. 속도는 거리의 변화율이고, 가속은 속도의 변화율을 설명하며, 힘은 물체에 대한 작용의 변화율이다. 그리고 모든 변화율은 시간 단위로 측정된다.
변화율을 측정하는 것은 시간을 어떤 단위로 나누는 것을 포함한다. 예를 들어 당신이 사다리를 오르는 데 걸리는 총시간이 하나의 시간 단위가 될 수 있다. 이때 당신이 사다리를 오른 거리에 대한 변화율은 단순히 그 시간 단위당 올라간 거리다. 또 그 거리를 사다리의 각 계단 단위로 나누어 시간 단위를 더 잘게 나눌 수도 있다. 그러면 당신이 지나간 거리에서의 변화율은 ‘새로운 시간 단위당 사다리의 가로대 사이의 길이’다. 만약 각 계단을 오르는 데 같은 양의 시간이 결렸다면 그 변화율은 일정할 것이다. 하지만 피곤해져서 더 천천히 오르게 되었다면 계속 앞으로 나아가더라도 지나간 거리에서의 변화율은 감소할 것이다.
미적분은 어느 순간에서든 변화율을 계산할 수 있을 때까지 시간단위가 극소량(infinitesimal)이 되어 아주 작아질 수 있도록 하면서 어느 수량의 변화율을 계산하는 과정이다.
_ [4.4 변화율과 미적분]에서