무한을 넘어서

프롤로그

1부 무한으로의 여행

1. 무한이 무엇인지
2. 무한을 갖고 놀기
3. 무한이 무엇이 아닌지
4. 다시 멀어지는 무한의 정체
5. 무한까지 세기
6. 무한보다 더 큰 무한
7. 무한 너머까지 세기
8. 무한의 비교
9. 무한의 정체

2부 무한의 풍경

10. 무한은 어디에?
11. 거의 무한한 것들
12. 무한 차원
13. 무한 차원 범주
14. 무한히 작은 값
15. 무한에 수학이 거의 붕괴될 때(당신의 머리도)
16. 무한의 기묘함
17. 무한이 있는 자리

감사의 말씀
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내가 추상 수학을 좋아하는 이유도 어떤 면에서는 배 여행을 좋아하는 이유와 비슷하다. 나에게 수학이란 그저 어떤 목적지에 도착하기 위한 수단이 아니다. 수학은 재미를 느끼고, 머리를 단련하고, 수학의 본질과 교감하고, 수학의 풍경을 구경하기 위한 것이다.

무한Infinity은 네스호의 괴물이다. 경외감을 불러일으키는 압도적인 크기를 갖고 있으면서도 그 정체를 분명히 알 수 없어 사람들의 상상력을 끊임없이 사로잡기 때문이다. 무한은 꿈이며, 시간과 공간이 무한대로 펼쳐져 있는 광활한 판타지의 세계다. 무한은 예상치 못했던 생명체, 뒤엉킨 덤불, 그리고 그 사이로 갑자기 쏟아져 들어오는 햇살이 어우러진 캄캄한 숲이다. 그리고 무한은 닫혀 있다가 활짝 열리면서 끝없이 이어지는 나선을 드러내는 루프loop다.

무한은 온갖 곳에서 우리가 꿈꿀 수 있는 하나의 개념으로 등장하며, 길이, 크기, 양의 개념 등, 수학으로 통합할 수 있는 다른 개념들과도 비슷해 보인다. 그렇다면 이런 쉬운 수학적 개념을 확장해 무한을 포함시키기가 왜 그리 어렵단 말인가?