재미있는 수학여행 3

개정판을 내면서
초판 서문
이 책을 읽기 전에

1부. 역사 속의 기하학
이집트와 그리스의 기하학
피라미드의 비밀
원과 구
탈레스의 반원
공포의 피타고라스 정리
히포크라테스의 초승달
수학의 3대 난문
도형의 기본은 삼각형
우주의 신비를 담은 도형
아르키메데스의 묘비
그리스인의 착출법
헤론의 공식
삼각법의 역사
비比와 천문학 이야기
2천년 전의 해석기하학
낙하법칙의 기하학적 표현
데카르트의 해석기하학
미술과 기하학
카발리에리의 원리
뉴턴과 라이프니츠
수학의 발전에 비약이란 없다

2부. 생활 속의 기하학
책상다리와 수학
회전하는 원판
죄수들이 도주하지 못한 이유
1m의 정의
성냥개비의 기하학 (1)
성냥개비의 기하학 (2)
도형의 넓이는 사각형부터
넓이를 재는 ‘자’는?
미련한 파훰
분석과 종합의 계산법
복잡한 문제는 그림으로
생활 속의 닮음비
자연 속의 정다각형
환상적인 다면체의 세계
생활 속의 피타고라스 정리
걸리버 여행기 속의 수학
정사면체와 정사각뿔
화장실에서 생긴 기하학
경상(鏡像)의 원리
황금분할
일상 속의 수학공식
벡터란?
엔트로피와 수학

수학은 인공의 대우주이다. 자연의 대우주와 비교될 만큼 온갖 비밀이 그 속에는 간직되어 있다. 그 비밀 속에는 현실세계와 깊은 관련이 있는 응용과 깊은 지혜가 숨어 있다. _ 〈초판 서문〉 중

그리스인들은 이 사실을 이론적으로 설명하였다. 그 선두주자가 앞에서 이야기한 탈레스이다.
반원은 크고 작은 것 등 무수히 많을 뿐만 아니라 반원 위에 한 점을 잡는 방법도 무수히 많다. 따라서 이 무수히 많은 원주각이 모두 직각이라는 것을 확인해야만 비로소 ‘반원에 대한 원주각의 크기는 (모두) 직각이다’라고 장담할 수 있는데, 그렇다고 이 많은 각을 샅샅이 조사한다는 것은 도저히 불가능한 일이다.
탈레스는 일일이 조사하지 않고도 지름 위의 모든 원주각이 직각이라는 것을 확인시켜주는 아주 멋진 방법을 찾아냈다. 그 방법이란, 반원의 ‘대표’와 반원 위의 점의 ‘대표’로써 무수히 많은 경우를 단번에 처리하는 것이었다. …
이와 같이 무수히 많은 것을 낱낱이 조사하지 않고도 단 하나의 ‘대표’만을 가지고 문제를 해결하는 방법을 터득하면 얼핏 답할 수 없는 것같이 보이는 문제에 대해서도 해답을 얻을 수 있게 된다. _ 〈탈레스의 반원〉 중

테이블을 잡고, 오른쪽 방향이건 왼쪽 방향이건 마루 위를 미끄러지게 하면서 돌리면 4분의 1, 그러니까 90도 회전하는 사이에 반드시 네 다리가 모두 마루에 닿는 부분이 있어 테이블이 안정된 상태가 된다. 이것은 누가 해보아도 어김없이 성공한다.
그런데 이 방법을 쓰면 왜 테이블이 덜거덕거리지 않게 되는 것일까? 그 이유를 캐보면 수학적으로 아주 중요한 의미를 발견할 수 있다.
지금 네 개의 다리에 각각 A, B, C, D의 표시를 붙이는데, 다리 D만이 마루에 닿지 않고 떠 있는 상태에 있다고 하자. 세 개의 ‘점’을 포함하는 ‘평면’은 꼭 하나 있다. 따라서 책상이나 의자의 다리가 세 개뿐이면 반드시 하나의 평면 위에 서 있게 되고, 덜거덕거리는 일은 생기지 않는다!
이때, D의 대각선 위에 있는 B가 뜨지 않도록 한 손으로 A와 B의 중간쯤인 테이블 위를 누르고, 다른 한 손으로 C와 D 사이의 테이블 위를 누른다.
자, 이제 테이블을 4분의 1회전시켰을 때, 즉 D가 C의 위치까지 움직이는 상태에 관해 생각해보자. 다리 D의 끝은 마루에서 떠 있는 상태에서 출발하여, 다리 C가 있었던 위치까지 이동하는 사이에 서서히 마루에 접근하고, 4분의 1회전하는 사이에 반드시 마루에 닿는 부분이 있게 된다.
이 사실을 보장해 주는 것이 미분학에 관한 다음의 중요한 정리이다. _ 〈책상다리와 수학〉 중