재미있는 수학여행 4

개정판을 내면서
초판 서문
이 책을 읽기 전에

1. 선의 이야기
나선 이야기 | 곡선의 종류 | 곡률의 이야기(1) | 곡률의 이야기(2)

2. 차원이란 무엇인가?
모양을 수로 나타내면? | 차원이란 무엇인가 | 2차원으로 본 3차원의 세계 | 꼬인 위치 | 3차원의 공간을 넘어 | 차원의 중요성 | 에셔의 그림 | 새로운 차원 개념의 등장 | 수학과 차원

3. 여러 가지 기하학
직선과 대원 | 비유클리드 기하학의 세계 | 위상공간의 기하학 | 토폴로지 이야기 | 위상(位相)의 의미 | 위상공간 속의 곡면 | 매듭의 기하학 | 부동점과 특이점

4. 기하학과 증명
증명의 정신 | 수학에 대한 세 가지 시각 | 그리스인의 기하학 | 분석은 본질을 전제로 한다 | 나팔꽃 줄기의 길이 | 피타고라스 정리의 증명 | 증명의 방법 | 정리인가, 공리인가 | 직관이 만능이 아니다! | 너무나 명백한 명제

5. 동양의 수학과 서양의 수학
고대 중국의 수학 | 동양의 기하학 이야기 | 중국인의 생활수학 | 우연의 이론, 확률 | 유희로서의 수학 | 일본의 수학 ‘와산(和算)’ | 동양에 소개된 정다면체 | 서양 수학의 원류 | 동양의 수학과 서양의 수학 | 한국 수학의 미래

‘4차원의 세계’라는 말은, 아인슈타인의 상대성 이론이 나온 이후 물리학을 잘 모르는 사람들의 입에도 자주 오르내리는 인기 있는 화제 중의 하나가 되어 있다. 그러나 이 4차원은, 공간 자신이 4개의 차원으로 이루어져 있다는 뜻은 아니고, 3차원의 공간에 1차원인 ‘시간’을 덧붙여서 생각한 것이다. 그러니까 얼핏 공간과는 이질적인 시간이 공간과 대등한 자격을 갖는다고 주장하는 것이 상대성 이론이며, 여기서 가로 세로 높이에 이은 ‘제4의 좌표’는 시간을 가리키고 있다.
공간만으로 된 4차원 세계는 우리의 현실로는 공상에 지나지 않는다. 우주 공간에 뚫린 이상한 구멍 ‘블랙홀(black hole)’은 4차원의 신비로 가끔씩 공상과학소설에 등장한다. 이 우주의 어딘가에 일단 빨려 들어가기만 하면 절대로 빠져나올 수 없는 공간이 있는데, 밖에서는 이 구멍 속이 전혀 보이지 않는다. 아무리 강력한 빛을 발사해도, 레이저를 사용해도 소용이 없다. 완전히 불투명한 상태로 빛도, 전파도, 사람도, … 온갖 것을 집어삼켜버리는 무서운 구멍, 이것이 우주의 괴물 블랙홀이라는 그런 이야기 말이다.
우리가 살고 있는 세계는, 가로 세로 높이의 3방향으로 무한히 멀리 뻗어 있는 3차원의 공간이다. 이 세 가지 방향의 어느 것과도 직각으로 만나는 또 다른 방향은 현실에는 존재하지 않는다. 그러나 인간의 상상력은 한이 없어서, 3이 있으면 반드시 4가 있을 것이라고 생각하기 일쑤이다. 저 블랙홀의 이야기도 인간의 그칠 줄 모르는 탐욕스러운 상상력의 산물이다.

수학이나 과학의 발달은, 너무도 뻔한 사실인 것처럼 보이는 일에도 따져 묻는 것을 게을리하지 않았던 선각자들의 노력 덕분이다.
사과가 나무에서 떨어진다는 뻔한 이치를 의심하지 않았던들, 뉴턴의 만유인력 법칙은 태어나지 않았을 것이고, 태양이 동쪽에서 솟아오르고 서쪽으로 지는 것을 하늘이 움직인 결과로 그렇게 되는 뻔한 이치로 보아 넘겼더라면 코페르니쿠스의 지동설은 영영 빛을 보지 못하고 말았을 것이다.
수학은 과학 중에서도 유독 이 ‘뻔한 이치’를 캐묻는 학문이다. 수학자에 비하면 물리학자나 화학자 등 다른 과학자들의 경우는, 경험을 앞세워 뻔한 이치를 그 이상 따져들지 않을 때가 있다.
그러나 수학자는 무엇이든 뻔하다고 해서 그냥 보아 넘기는 일은 결코 하지 않는다. 이치를 따져서, 누구나가 고개를 끄덕이는 방법으로 증명되지 않으면, 아무리 명백한 사실인 것처럼 보인다고 하더라도 그것만으로는 만족하지 않는다.

무릇 인간에게는 ‘개념의 체계’라는 것이 있어서, 우리의 문화, 행동, … 온갖 면에서 이 개념의 체계가 기본적인 역할을 하고 있다. 뛰어난 음악이나 회화는, 그것이 아니면 도저히 전달할 수 없는 고도의 아이디어(=미)를 직접 감각에 호소하며 전해준다.
이런 뜻으로 예술은 개념을 고도로 구체화한 것이라고 할 수가 있다. 바꿔 말하면, 예술은 그것 없이는 전할 수 없는 심오한 아이디어를 손에 잡힐 듯 생생하게 전달해주는 세계 공통의 언어라고 할 수가 있다.
수학의 아름다운 정리도 마찬가지이다. 그 정리를 이해하는 것은, 그 사람으로 하여금 새로운 세계를 이해하게 만들고, 더 정확히 말해 새로운 세계를 볼 수 있다는 기쁨을 안겨준다. 이 기쁨은 더 나가서 드넓은 바깥 세계와의 유대를 느끼게 해준다. 수학은, 무엇보다도 개념에 관한 학문이다. 따라서, 수학은 인간 문화의 온갖 면, 또 인간의 온갖 행동과 밀접한 연관이 있다.