재미있는 수학여행 2

개정판을 내면서
초판 서문
이 책을 읽기 전에

1. 큰 수에 도전한다
아르키메데스의 모래알 계산 | ‘수의 거인’을 찾아라 | 거듭제곱이 만든 수 | 모든 씨앗의 싹이 튼다면 | 걸리버의 식사 | 2로 만든 가장 큰 수

2. 집합과 셈
무한을 셈한다! | 자연수와 대등인 집합들 | 자연수보다 더 큰 집합 어느 쪽이 더 많을까? | 무리수의 정의 | 무한집합에 관한 정리 무한에 얽힌 패러독스 | 무한과 무(無)

3. 현실세계와 수
수학은 픽션이다 | 수와 현실의 대응관계 | 수학의 허구와 현실 | 유럽 사람들의 계산법 | 구구단 외우기 | 서양식 손가락셈 | 노아의 대홍수 | 동양과 서양의 수 읽기 | 인종차별을 타파한 수학

4. 논리는 생각의 날개
논리와 수학 | 수학과 궤변(1) | 수학과 궤변(2) | 뒤에서 공격하는 귀류법 | 추측을 뒤집는 반례 | 집합과 논리 | 기호와 논리 | 고마운 기호의 역할(1) | 고마운 기호의 역할(2) | 수학 기호의 역사 | 쉽지만 까다로운 부등식

5. 수학이란 무엇인가
수학의 생명은 ‘추상’ | 수는 고도의 개념 | 실증과 논증 | 연역과 귀납 | 개념의 내포와 외연 수학은 가장 이상적인 대화 | 수학은 정의부터 시작한다 | 수학에 등장한 최초의 정의 | 공리 위에 쌓은 지식

6. 수학의 구조
수학으로 만든 설계도 | 군이란 무엇인가? | 가장 간단한 군 | 군의 구조를 가진 집합 | 수학은 함수의 학문 | 컴퓨터와 수학적 사고력

7. 증명이란 무엇인가
수학적 사고력 키우기 | 아직도 풀지 못한 문제들 수학과 탐정 | 불가능한 증명 | 정답이 여섯 가지인 문제 스무고개와 이분법 | 귀납법이란? | 수학에서의 귀납법 | 엉터리 귀납법

8. 수학의 에피소드
구구셈을 몰랐던 대학생 | 수학자에 얽힌 일화 수학자는 마술사 | 칸트는 수학자로서 더 훌륭했다?

수학은 인공의 대우주이다. 자연의 대우주와 비교될 만큼 온갖 비밀이 그 속에는 간직되어 있다. 그 비밀 속에는 현실세계와 깊은 관련이 있는 응용과 깊은 지혜가 숨어 있다. _머리말에서

어떤 사람이 “나는 거짓말을 하고 있다”라고 말했다고 하자. 그의 이 말은 참말일까, 거짓말일까? 만일 그의 말이 참말이면 그는 거짓말을 하고 있으며, 그의 말이 거짓말이면 참말을 하고 있는 것이 된다.
이 보기처럼, 얼핏 보기에 틀린 것처럼 생각되어도 실은 옳고, 역으로 얼핏 옳은 것 같아도 틀리는 자기 모순(自己矛盾)되는 명제를 패러독스(paradox), 또는 역리(逆理)라고 부른다.
기원전 6세기도 더 되는 옛날에 크레타 섬 출신의 뛰어난 시인이자 예언자인 에피메니데스는 “크레타 섬 사람들이 하는 말은 모두 거짓말이다”라는 유명한 말을 남겼다. 유명하다고 했지만 여러분이 보기에는 어떤가? 약간 과장된 주장이기는 하지만 대단찮은 말로 생각될 것이다.
그러나 에피메니데스의 이 말은 근거 없는 단순한 과장 정도가 아니라, 사람들의 사고를 혼란하게 만들 위험한 내용을 담고 있다. 문제는 이 주장을 한 에피메니데스 자신이 크레타 섬 사람이라는 점에 있다. 요컨대 에피메니데스가 말하는 이야기는 모두 거짓말이라는 것을 당사자인 그 자신이 주장하고 있는 데에 말썽의 씨가 있다. 에피메니데스의 이 주장은 맨 처음에 내놓았던 보기와 똑같은 내용의 패러독스인 것이다.

그런데 릴리펏인들은 도대체 어떻게 계산했기에 이렇게 많은 양의 음식을 걸리버에게 제공했던 것일까? 그리고 단 한 사람의 시중을 드는데 이처럼 많은 급사가 필요했을까? 걸리버의 키는 기껏해야 릴리펏인들보다 12배 컸을 뿐인데 말이다. 걸리버와 이 소인국의 말의 크기가 아무리 차이가 있었다 해도 1,500필이란 숫자는 너무 지나친 것 같다.
그러나 실제로 계산해보면 이것은 결코 터무니없는 것이 아니다.
릴리펏인들의 키는 걸리버의 12분의 1이기 때문에, 몸 전체의 크기(부피)는 12x12x12, 곧 1728분의 1에 해당한다. 따라서 릴리펏인들보다 12배 큰 걸리버는 목숨을 지탱하기 위해서는 그들의 1,728인분의 음식을 섭취해야 한다는 계산이 된다.
이렇게 따지면 요리사의 수가 그렇게 많았던 이유를 이해할 수 있을 것이다. 1,728인분의 요리를 장만하기 위해서 한 사람의 요리사가 6인분의 요리를 마련할 수 있다고 해도 300명쯤은 필요했을 것이다. 시중꾼이 100명쯤 되었다는 것도 이 사실로 미루어 당연히 그랬어야 한다고 믿어진다.