재미있는 수학여행 1

개정판을 내면서
초판 서문
이 책을 읽기 전에

1. 수란 무엇인가
수 개념 탄생의 비밀 | 수사 없이 셈하기 | 동물들의 수학 점수 | 수의 특징 | 수에도 개성이 있다 (1) | 수에도 개성이 있다 (2) | 궁하면 통한다 | 우리나라의 탤리 | 최초의 숫자 | 공집합과 0

2. 기수법
여러 가지 기수법 | 편리한 10진 기수법 | 0과 1로 이루어진 세상 | 마법의 카드 | 주판은 몇 진법일까? | 60진법의 이점

3. 정수론
수학이 미신을 낳았다? | 정수론의 시초 | 수의 아름다움 | 365라는 수의 비밀

4. 배수와 약수의 성질
최소공배수와 최대공약수 (1) | 최소공배수와 최대공약수 (2) | 곱셈구구의 비밀 | 핫세의 도식 | 소인수분해와 소수 | 에라토스테네스의 체 | 소수에 관한 수수께끼 (1) | 완전수가 될 수 없는 소수 | 소인수분해는 인수분해! | 소인수분해의 일의성 | 소수에 관한 수수께끼 (2) | 두 수학자의 대화

5. 페르마의 정리
유한대수 이야기 | 페르마의 정리

6. 정수의 비밀
브라만 탑의 수수께끼 | 아름다운 정수의 세계 | 재미있는 성질의 두 자리 수 | 좋아하는 숫자 만들기 | 알고 보면 쉬운 계산 | 때로는 산수가 편리하다 | 수의 마방진 | 마방진의 변천 | 셈에 있어서의 중매 역할

7. 음수의 참뜻
양수에서 음수로 | 음수는 가짜의 수? | 음수의 곱셈 (1) | 음수의 곱셈 (2) | 음수의 곱셈 (3) | 절대값의 정의

8. 분수와 소수
분수가 유리수인 이유 | 이집트인의 분수 계산 | 유한소수와 순환소수 | 분수와 소수의 탄생 | 중국의 분수 | 호루스의 눈

9. 무리수의 탄생
피타고라스 정리와 무리수 | 의 역사 | 의 근사값 | 무리수와 번분수 | 수학자 아벨의 장난 | 원주율 이야기 | 동양의 원주율 계산 | 원주율의 계산 | 넓어지는 수의 세계

수학은 인공의 대우주이다. 자연의 대우주와 비교될 만큼 온갖 비밀이 그 속에는 간직되어 있다. 그 비밀 속에는 현실세계와 깊은 관련이 있는 응용과 깊은 지혜가 숨어 있다. _머리말에서

이 ‘무한’은 ‘무수’와는 다르다. ‘무수’라는 표현은 흔히 아주 많은 상태를 강조하기 위해서 쓰인다. 밤하늘에 반짝이는 별들, 바닷가의 모래알, 창고에 가득히 쌓인 곡식의 낟알, … 등의 개수는 ‘무수히 많다’는 말로 표현되지만, 끈기 있게 셈하여나가면 한 사람의 힘으로 안 될 때 다음 사람, 또 그다음 사람이 셈한다면 언젠가는 모두 셀 수 있게 된다.
그러나 무한은 그렇지가 않다. 무한히 많은 수는 이 세상 사람들 모두의 힘을 빌린다 해도 결코 셈이 끝나지 않는 수이다. 이렇게 엄청나게 많은 소수가 있다는 것을 증명한 유클리드는 참으로 위대한 사람이다.
여기서 다시 소수가 무한히 많다는 것을 증명한 유클리드의 방법에 대해서 생각해 보면, 그는 처음에 소수가 유한개뿐이라고 가정하여, 결과적으로 이 가정을 뒤집어 엎음으로써, 그 반대, 즉 ‘소수는 무한’이라는 결론에 도달하였다.
이 증명 방법은 앞에서 이미 설명한 바 있는 ‘귀류법’을 쓴 것이다. 이 귀류법이 이렇게 오래전부터 수학에서 빼놓을 수 없는 증명 방법으로 쓰였다는 사실에 주목할 필요가 있다. 그리고 한국을 포함한 동양권의 수학에서는 이 방법이 쓰인 적이 없었다는 사실에 대해서도 말이다.

음수란 무엇일까?
교과서에는 보통 음수란 ‘0보다 작은 수’라고 설명되어 있다. 이 설명을 읽고 이상하다고 느껴본 적이 있는 사람도 많을 것이다. ‘0은 아무것도 없는 상태인데, 그보다도 작다니?’ 하고 말이다. 귤 3개를 가지고 있다가 3개 모두 먹고 나면 나머지는 0이 된다. 그렇다면 아무것도 없는 것보다 작은 수? 도대체 그런 수가 있을까? 아니, 그런 수는 실제로 존재하지 않는다고 생각한 적이 있을 것이다.
이러한 의문을 갖는 것은 결코 머리가 나쁜 탓이 아니다. 오히려 바람직한 생각이다. 의문이 생기면 그 의문을 그냥 두지 않고 충분히 이해가 갈 때까지 따져보고 문제를 해결해 나가는 태도가 중요하다.
16세기쯤 유럽의 수학자들도 음수는 0보다 작은 수라고 하면서 실제로는 존재하지 않는 가짜의 수라고 생각하고 있었다. 하기야, 지금의 어른들도 대개는 음수는 실제로 있는 것이 아니고 수학 속에서만 다루어지는 수라고 여기고 있는 것 같다.