수학, 생각의 기술

PART 0 수학은 생각이다Mathematical thinking
수학은 생각하는 것이다 · 8
자신의 생각을 확인한다 · 11
문제를 해결한다 · 21
두뇌를 자극한다 · 35
왜 수학을 공부할까 · 46
수학, 7가지 생각의 기술 · 53

PART 1 생각을 확인한다Why thinking
당연한 현상에 ‘왜’라고 묻는다 · 56
확인하는 과정을 거친다 · 66
모든 것은 질문에서 시작된다 · 77
질문이 있어야 답이 있다 · 88
파괴는 새로운 창조를 만든다 · 95

PART 2 개념을 생각한다What thinking
그림이란 무엇인가 · 100
수학은 약속이다 · 103
부분과 전체가 같을 수 있다 · 110
개념을 발견하고 창조한다 · 119
비즈니스에서의 창의성을 생각한다 · 128
‘what’이라는 질문을 던져라 · 137
창조는 모방에서 시작한다 · 142

PART 3 생각을 연결한다Dual thinking
수학과 예술을 연결한다 · 150
언어와 수식을 연결한다 · 153
그림과 수식을 연결한다 · 162
그림으로 생각한다 · 169
좌뇌와 우뇌를 연결한다 · 180
낯선 것과 연결한다 · 186
PART 4 다양한 방향으로 생각한다Indirect thinking
간접적 접근으로 문제를 해결한다 · 196
상대를 통해 나를 안다 · 202
상대와 나의 상호작용을 생각한다 · 208
아닌 것을 제거하여 답을 찾는다 · 214
순서를 바꾸어 관점을 전환한다 · 220
거꾸로 접근한다 · 227

PART 5 패턴을 생각한다Pattern thinking
패턴을 발견한다 · 238
전체 속에서 패턴을 찾는다 · 240
다양한 패턴을 발견한다 · 249
일상 속에서 패턴을 파악한다 · 258
패턴을 찾으려면 관찰하라 · 264
해결의 포인트는 패턴이다 · 269

PART 6 한 단계 위에서 생각한다Meta thinking
높은 차원에서 생각한다 · 284
부분을 포함하는 전체를 바라본다 · 286
한 단계 위에서 관찰한다 · 294
인생을 한 단계 위에서 본다 · 302
논리의 함정에서 벗어나다 · 307
부지런한 생각을 선택한다 · 317

PART 7 미지의 것을 생각한다Paradox thinking
불가능한 현상은 언제나 가능하다 · 322
답이 될 수 없는 답, 패러독스 · 326
명백한 논리적 모순을 설명할 수 없다 · 340
현실은 계산과 논리를 이긴다 · 350

이 책에서 다루는 문제는 모두 레크리에이션 수학에 속한다. 이 문제들을 푸는 데에는 앞서 말한 것처럼 수학 지식이 거의 필요하지 않다. 지식보다는 생각의 힘을 발휘해야 한다. 그런 의미에서 우리가 미처 도달하지 못한 생각의 기술, 창의적 사고력을 키우는데 레크리에이션 수학만큼 적합한 도구가 없다. 당신은 이미 이 책에서 소개하는 문제를 풀기에 충분한 지식을 갖고 있다. 이제 생각의 기술이 필요할 뿐이다. 많이 경험하고 연습하면 생각의 기술을 발전시킬 수 있다. -<PART.0 수학은 생각이다> 중에서



우리는 가장 먼저 캔을 왼쪽 그림처럼 규칙적으로 넣는 방법을 떠올린다. 하지만 실제로 캔을 더 많이 넣는 방법은 오른쪽처럼 벌집 모양의 정육각형을 만드는 것이다. 모두 5개씩 통일해 줄을 맞추는 것이 균형과 대칭을 이루어서 좀 더 안정적이고 더 많은 캔을 넣을 수 있을 것 같다. 하지만 그것은 벌집 모양의 ‘육각 채우기’를 경험하지 못한 사람의 한정된 생각일 뿐이다. 이러한 사고의 확장은 단지 박스에 캔 하나를 더 넣고 못 넣고의 문제에 국한되지 않는다. 반도체를 생각해보자. 컴퓨터에 쓰이는 실리콘 칩은 원형의 실리콘 웨이퍼에서 잘라낸다. 원형에서 작은 정사각형 조각들을 잘라내고 남은 웨이퍼는 그냥 버리는데, 이럴 때 같은 웨이퍼에서 정사각형 조각을 어떻게 배치해 자를 것인지에 따라 경제적 손실이 크게 달라진다. -<PART.0 수학은 생각이다> 중에서



네덜란드의 판화가 에셔 Escher의 <도마뱀>이라는 판화 작품이다. 이 작품의 주인공인 도마뱀은 2차원의 평면에서 나와 3차원을 돌아다니다 다시 2차원의 평면으로 들어간다. 작품 속의 스케치북을 보면 서로 다른 도마뱀들이 맞물려서 2차원의 평면을 빈틈없이 덮고 있다. 일정한 모양을 반복해서 평면을 채우기란 쉬운 일이 아니다. 어쩌면 불가능한 일에 가깝다. 이렇게 평면을 똑같은 모양으로 채워나가는 것을 테셀레이션tessellation 이라고 한다. 에셔의 작품에 영감을 받은 영국의 수학자 펜로즈 Penrose는 어떤 모양이어야 평면을 채울 수 있는가에 대한 연구를 진행하기도 했다. 지금은 초등학교 수학 시간에 다각형을 배우며 테셀레이션을 다룬다. -<PART.3 생각을 연결한다> 중에서

다음 마름모를 정확히 3등분해보자.
명문 대학의 학생들에게 이 질문을 던졌을 때 30%의 학생들만 문제를 풀었다고 한다. 나머지 70% 학생들은 1시간이 넘도록 문제에 매달려도 풀지 못한 반면, 문제를 해결한 30% 학생들은 대부분 1초 만에 풀었다고 한다. 그들의 방법은 이랬다.


모든 경우에는 다양한 관점과 시각이 필요하다. 사고의 중심을 전환하며 같은 일에 대해서도 다양한 생각을 해보는 시도는 새롭고 재미있는 사고의 연습이 된다. -<PART.4 다양한 방향으로 생각한다> 중에서

메타인지Meta-cognition라는 개념이 있다. 메타인지란 ‘자신의 인지 활동에 대한 인지’, 즉 자신이 인지하는 것을 한 단계 위에서 바라보며 조절하는 것을 말한다. 내가 어떻게 생각하는지 객관적으로 바라보며 조절하는 능력이다. 학자들은 성공하고 행복한 인생을 만들어가는 데 메타인지 능력이 매우 중요하다고 말한다. 다른 사람들에게 피해를 주면서도 자신만 그 사실을 모르는 사람이 있다. 그런 사람은 가끔 누군가 자신에게 불만을 보이면, 자신은 아무 잘못이 없는데 왜 비난하느냐고 화를 낸다. 또 자신이 아주 잘하고 있다고 생각하기 때문에 변화가 필요하다는 사실을 전혀 이해하지 못한다. 이는 자신을 객관적으로 보지 못하기 때문에 생기는 현상이다. 메타인지 능력은 학습에도 결정적 영향을 준다. 네덜란드 라이덴 대학교 마르셀 베엔만Marcel Veenman 교수의 연구 결과에 따르면 I.Q가 학교 성적에 25% 정도 영향을 미치는 반면, 메타인지는 학교 성적에 40% 정도 영향을 준다고 한다. -<PART.6 한 단계 위에서 생각한다> 중에서



1958년 영국의 수학자 로저 펜로즈Roger Penrose는 영국 심리학 저널에 ‘불가능한 대상 : 시각적 착시의 특별한 형태’라는 용어를 처음 사용하며 다음과 같은 불가능한 삼각 막대를 사람들 앞에 내놓았다. 이 삼각 막대는 각 부분에서는 틀린 점을 발견할 수 없으나 실제로는 만들 수 없는 불가능한 도형이다. 후에 펜로즈는 다음과 같은 불가능한 계단을 제시했다. 삼각 막대와 계단 모두 뫼비우스의 띠를 연상시킨다. -<PART.7 미지의 것을 생각한다> 중에서

패러독스는 우리의 생각의 폭을 넓혀주고 생각의 깊이를 더 깊게 해준다. 학문 분야에서는 패러독스가 새로운 연구의 지평을 여는 경우가 자주 있다. 패러독스는 직관이나 상식을 벗어나 우리를 깜짝 놀라게 하기도 하며, 때로는 그런 놀라움이 우리에게 재미를 주기도 한다. 우리의 현실은 확실하면서도 불확실하고, 논리적이면서도 비논리적인 것이 엉켜 있다. 모든 것이 합리적이고 세상이 이해할 수 있는 것으로만 채워져 있다면 재미없을 것 같다. 세상은 애매모호하다. 심리학자 로버트 스턴버그Robert Sternberg는 “애매모호함을 참고 견디는 것이 현명함이다”라고 했다. 애매모호함을 외면하기보다는 그 속에서 새로운 지혜를 발견하고 즐겨 보자. -<PART.7 미지의 것을 생각한다> 중에서

수학이라고 하면 많은 사람들이 복잡한 계산을 떠올린다.