수학의 언어로 세상을 본다면

머리말 _ 아버지가 딸에게 전하는 수학

제1장 불확실한 정보를 가지고 판단한다
O. J. 심슨 재판, 변호측 교수의 주장 · 우선 주사위를 던져본다 · 도박에서 지지 않는 방법 · 조건부 확률과 베이즈의 정리 · 유방암 검진을 받을 의미가 있는가 · ‘경험으로 배운다’를 수학적으로 배운다 · 원자력발전소 중대사고가 다시 발생할 확률 · O. J. 심슨은 부인을 죽였을까

제2장 기본원리로 되돌아가본다
기술혁신을 위해서 필요한 것 · 덧셈, 곱셈 그리고 세 가지 규칙 · 뺄셈, 그리고 영의 발견 · (-1)×(-1)은 왜 1이 되는가? · 분수가 있다면 무엇이라도 나눌 수 있다 · 가분수 → 대분수 → 연분수 · 연분수로 달력을 만든다 · 정말 인정하고 싶지 않았던 ‘무리수’ · 2차방정식의 화려한 역사

제3장 큰 수도 무섭지 않다
세계 최초의 원자폭탄실험과 페르미 추정 · 대기 중 이산화탄소는 어느 정도 증가했을까 · 큰 수가 나와도 두렵지 않다 · 천문학자의 수명을 2배로 늘린 비밀병기 · 복리효과를 최대로 하는 예금방법은? · 은행예금이 배가 되려면 몇 년이나 맡겨야 할까? · 자연법칙은 대수로 간파한다

제4장 소수의 불가사의
순수수학의 꽃으로 · ‘에라토스테네스의 체’로 소수를 발견하다 · 소수는 무한개 있다 · 소수의 출현에는 패턴이 있다 · 파스칼의 삼각형으로 소수를 판정한다 · 페르마 테스트에 합격하면 소수? · 통신 비밀을 지키는 ‘공개 열쇠 암호’란? · 공개 열쇠 암호가 열쇠, 오일러의 정리 · 신용카드 번호 주고 받기

제5장 무한세계와 불완전성 정리
호텔 캘리포니아에 잘 오셨어요! · ‘1=0.99999…’는 납득할 수 없다? · 아킬레우스는 거북이를 따라잡을 수 없는 걸까? · ‘지금 나는 거짓말을 하고 있다’ · ‘알리바이 증명’은 ‘귀류법’ · 이것이 괴델의 불완전성 정리다!

제6장 우주의 형태를 측정하다
고대 그리스인은 지구의 크기를 어떻게 측정했을까? · 기본 중의 기본, 삼각형의 성질 · 데카르트 좌표라는 획기적인 아이디어 · 6차원이라도 9차원이라도 10차원이라도 · 유클리드 공리가 성립하지 않는 세계 · 평행선 공리만이 성립하지 않는 세계 · 외부에서 보지 않아도 형태를 알 수 있는 ‘경이로운 정리’ · 한 변이 100억 광년인 삼각형을 그린다

제7장 미적분은 적분부터
아르키메데스로부터의 편지 · 왜 ‘적분부터 먼저’ 일까? · 원래 면적은 어떻게 계산하지? · 어떤 도형이라도 OK, ‘아르키메데스의 구적법’ · ‘적분’에서는 무엇을 계산하고 있을까? · 여러 가지 함수를 적분해보자 · 날아가고 있는 화살은 멈춰 있는가? · 미분은 적분의 역 · 지수함수의 미분과 적분

제8장 정말로 존재하는 ‘공상의 수’
공상의 수, 공상의 친구 · 어떻게 해도 나오는 ‘제곱하여 음수가 되는 수’ · 1차원의 실수에서 2차원의 복소수로 · 복소수의 곱셈은 ‘돌려서 늘인다’ · 곱셈으로 이끄는 ‘덧셈정리’ · 기하의 문제가 방정식으로 풀린다! · 삼각함수와 지수함수를 연결한 오일러공식

제9장 ‘어려움’과 ‘아름다움’을 측정한다
갈루아, 20년의 생애와 불멸의 공적 · 도형의 대칭성이란 무엇인가? · ‘군’의 발견 · 2차방정식 ‘해의 공식’의 비밀 · 3차방정식은 왜 풀 수 있을까? · ‘방정식을 풀 수 있다’란 어떤 것인가? · 5차방정식과 정20면체 · 갈루아로부터의 편지 · 식의 어려움과 형태의 아름다움 · 또 하나의 혼을 얻다


후기

음수와 음수의 곱셈에 대해서 생각해보자. 네가 매일 하교 길에 100원짜리 주스를 사마셨다고 하자. 이번에는 용돈이 없다고 한다. 저금이 매일 100원씩 줄어들 것이다. 하루가 지나면 100원, 이틀이 지나면 200원 줄어든다. n일이 지나면 100×n원 줄어든다. 이것을 (-100)×n으로 나타낼 수 있다. 여기서 하루 전의 경우, n=-1이라고 한다면 어떨까. 매일 100원짜리 주스를 사서 마셨기 때문에 100원씩 저금이 줄어드는 것이니 어제는 오늘보다 100원 더 많은 저금이 있었을 것이다. 즉 (-100)×(-1)=100이어야 한다. 그저께 즉 n=-2에는 200원 많았을 것이므로 (-100)×(-2)=200이 된다. 음수와 음수를 곱하면 양수가 된다고 예상할 수 있다.

1945년 7월, 미국 뉴멕시코 주의 트리니티 실험장에서 세계 최초의 원자폭탄실험이 행해졌다. 그 3년 전에 시카고 대학에서 원자로를 건설하여 원자핵 분열의 지속적인 연쇄반응을 가능하게 한 엔리코 페르미도 맨해튼 계획의 일원으로 실험에 참가했다.
폭발하고 40초 후 관측기지에도 폭풍이 도달했다. 폭발이 있었던 지점을 바라보고 있던 페르미는 일어서서 머리 위로 두 손을 번쩍 들었다. 손에는 미리 준비해둔 메모용지가 있었다. 폭풍이 도달하자 양손을 펼쳤다. 종이쪽지는 2미터 반 정도 날아서 지면에 떨어졌다. 이것을 본 페르미는 잠시 생각한 후 참가자들을 보고 말했다. “TNT 화약 2만 톤에 상당하는 위력이군요.”

소수가 무한개 있다는 것을 알았는데, 소수를
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43…
이렇게 나열해보면 거기에는 어떤 패턴이 있지 않을까? 이 문제는 고대 그리스시대부터 현대에 이르기까지 수학자를 매료시켰다.
소수의 패턴을 찾는 것은 원자의 주기율표를 찾는 것과 같다고 생각한다. 19세기 화학자 드미트리 멘델레예프가 그때까지 발견된 원소를 원자량 순으로 나열하자, 그 성질에 주기적 패턴이 있다는 것을 알았다. 그 주기성을 가지고 새로운 원자의 존재를 예언했다. 그리고 멘델레예프의 주기율표는 20세기의 원자구조의 해명에 큰 영향을 미쳤다. 이와 마찬가지로 수의 아톰인 소수의 패턴을 이해하면, 수의 비밀을 보다 깊이 해명할 수 있다고 기대할 수 있다.