갈루아 이론의 정상을 딛다

머리말

제1장 정수
1. 최대공약수를 구하기
- 유클리드의 호제법
……정리1.1 호제법의 원리
……정리1.2 1차부정방정식
……정리1.3 1차부정방정식
2. 나머지 계산
- 잉여류
……정의1.1 합동식
……정의1.2 합동식
……정리1.4 합동식의 성질
3. 정육각형을 회전시키기
- 순환군
……정의1.3 군의 정의
4. 군이 같다는 것
- 군의 동형
……정의1.4 군의 동형
5. 일부의 원소로도 군이 된다
- 부분군
……정리1.5 순환군의 부분군
6. 두 개의 군으로 군을 만들기
- 군의 직적
……정의1.5 군의 직적
……정리1.6 중국 나머지정리
……정리1.7 중국 나머지정리: 3개의 수
……정리1.8 ℤ/nℤ의 분해
7. 곱하여도 군이 된다!
- 기약잉여류군
……정의1.6 기약잉여류군
8. (ℤ/p^nℤ)^*는 직적으로 쓸 수 있는가?
- 기약잉여류군의 구조 분석
……정리1.9 기약잉여류의 분해
……정의1.7 오일러 함수
……정리1.10 기약잉여류의 원소의 개수
9. (ℤ/pℤ)^*는 순환군이다
- 원시근으로 생성
……정리1.11 F_p 위의 1차방정식
……정리1.12 F_p 위에서의 나머지정리
……정리1.13 F_p 위에서의 인수정리
……정리1.14 F_p 위의 방정식의 해의 개수
10. 소수 p의 원시근은 분명히 있다
- 원시근의 존재 증명
……정리1.15 a가 생성하는 순환군
……정리1.16 원시근의 존재
……정리1.17 (ℤ/pℤ)^*는 순환군
11. 기약잉여류군을 해부하기
- (ℤ/pℤ)*의 구조
……정리1.18 (ℤ/2^nℤ)^*의 구조
……정리1.19 (ℤ/p^nℤ)^*의 구조
……정리1.20 기약잉여류군의 구조

제2장 군
1. 정삼각형의 대칭성 알아보기
- 이면체군
……정리2.1 g에 의한 교체
……정리2.2 g가 부분집합에 작용
……정의2.1 이면체군
2. 부분군으로부터 잉여군 만들기
- 일반 잉여군
……정리2.3 잉여류
……정리2.4 라그랑주의 정리
……정리2.5 위수 제곱은 항등원
……정리2.6 페르마의 소정리, 오일러의 정리
……정리2.7 잉여군의 항등원
3. 정육면체의 대칭성을 알아보기
- S(P_6)
……정리2.8 잉여군
……정리2.9 순환군의 잉여군은 순환군
……정리2.10 절반의 부분군은 정규부분군
4. 동형사상이 아니래도!
- 준동형사상
……정의2.2 군의 준동형사상
……정리2.11 Imf는 군
……정리2.12 Kerf는 군
……정리2.13 준동형정리
5. 동형을 만들기
-제2동형정리, 제3동형정리
……정리2.14 부분군이기 위한 조건
……정리2.15 부분군의 연산
……정리2.16 제2동형정리
……정리2.17 제3동형정리
6. 사다리타기가 만드는 군
- 대칭군 S_6
……정리2.18 치환은 호환의 곱
……정리2.19 대칭군의 생성원
……정리2.20 치환의 홀짝 성질
……정리2.21 교대군
……정리2.22 교대군과 대칭군
……정리2.23 교대군은 삼환의 곱
……정리2.24 교대군의 생성원
7. 크기 순서로 포함되는 구조를 갖는 순환군
- 가해군
……정의2.3 가해군
……정리2.25 순환군의 직적은 가해군
……정리2.26 교대군의 비가해성
……정리2.27 가해군의 부분군도 가해군
……정리2.28 대칭군의 비가해성
……정리2.29 준동형사상의 상도 가해군
……정리2.30 잉여군도 가해군

제3장 다항식
1. 기본대칭식으로 나타내기
- 대칭식
……정리3.1 대칭식의 기본 정리
2. 다항식에서 소수
- 기약다항식
……정리3.2 F_p 위의 다항식은 정역
……정리3.3 유리수 계수 다항식의 기약성
……이것의 대우
……정리3.4 아이젠슈타인의 판정조건
3. 정수와 다항식의 유사성
- 다항식의 합동식
……정리3.5 다항식의 1차부정방정식
……정리3.6 기약다항식의 정질
4. 기약다항식으로 나누어도 체
- Q[x]/(f(x))
……정리3.7 기약다항식에 의한 체

제4장 복소수
1. 2차방정식에서 복소수가 나온다
- 복소수
……정리 대수학의 기본 정리
……정리4.1 켤레복소수의 계산 법칙
……정리4.2 켤레복소수끼리 더하거나 곱하면 실수
……정리4.3 켤레복소수도 해
2. 복소수가 활약하는 무대
- 복소평면
……정리4.4 복소수의 곱셈에서 절댓값과 편각
……정리4.5 복소수의 나눗셈에서 절댓값과 편각
……정리4.6 복소수의 n제곱
3. 원을 n등분하는 점
- 1의 n제곱근
……정리4.7 1의 n제곱근
……정리4.8 복소수의 n제곱근
……정리4.9 1의 원시n제곱근
4. 1의 원시 n제곱근을 해로 갖는 방정식
- 원분다항식
……정의4.1 원분다항식
……정리4.10 소수 차수의 원분다항식
……정리4.11 1의 n제곱근의 합의 공식
5. n차방정식에는 반드시 해가 있다
- 대수학의 기본 정리
……정리4.12 대수학의 기본 정리
……정리4.13 복소수 계수 2차방정식의 해의 존재
……정리4.14 실수 계수 다항식의 해의 존재
……정리4.15 복소수 계수 방정식의 해의 존재
……정리4.16 대수학의 기본 정리: 인수분해 버전
6. n이 합성수이어도 원분다항식은 기약
- phi(x)의 기약성의 증명
……정리4.17 mod p에서 p제곱
……정리4.18 해로부터 해를 만들기
……정리4.19 원분다항식의 기약성

제5장 체와 자기동형사상
1. 무리수의 계산을 간단하게 하기
- Q(루트3)의 대칭성
……정의5.1 체의 정의
……정의5.2 체의 동형사상
……정리5.1 유리수는 동형사상에 의하여 불변
2. 이 계산, 어디선가 보았는데!
- Q[x]/(f(x)) cong Q(alpha)
……정리5.2 최소다항식과 기약다항식
……정리5.3 단순확대체 Q(alpha)의 원소 표현의 일의성
……정리5.4 다항식의 잉여류군과 단순확대체
3. 동형은 n개
- Q(alpha_1) cong Q(alpha_2) cong … cong Q(alpha_n)
……정리5.5 f(x)가 만들어 내는 동형
……정리5.6 동형사상과 유리함수는 순서를 바꿀 수 있음
……정리5.7 동형사상은 해를 켤레인 해로 옮긴다
……정리5.8 동형사상은 해를 치환시킨다: 해의 치환
……정리5.9 Q(alpha)의 동형
……정리5.10 Q(alpha)에 작용하는 동형사상은 n개
4. 체의 차원을 파악하기
- 선형대수의 보충 설명
……정의5.3 선형공간
……정의5.4 일차독립, 일차종속의 정의
……정리5.11 일차독립, 일차종속
……정의5.5 기저의 정의
……정리5.12 표현의 일의성
……정리5.13 기저의 완전성
……정리5.14 Q(alpha)의 기저
……정리5.15 선형공간의 차원
……정의5.6 차원
……정리5.16 선형공간의 일치
5. 방정식의 해를 포함하는 체
- 최소분해체 Q(alpha_1, alpha_2, … alpha_n)
……정의5.7 최소분해체
……정리5.17 동형사상이 자기동형사상으로 되는 조건
……정리5.18 자기동형사상의 곱도 자기동형사상
……정리5.19 자기동형군
6. 4차방정식의 예
- 중간체
7. 2단 확대
-Q(alpha, beta)
……정리5.20 차원의 곱셈 공식
……정리5.21 동형사상의 연장
……정리5.22 Q(alpha, beta)에 작용하는 동형사상
8. 불변부분군과 불변체가 대응하고 있다!
- 갈루아 대응
……정리5.23 불변체
……정리5.24 불변부분군
9. 확대체는 모두 단순확대체
- Q(alpha_1, …, alpha_n)=Q(theta)
……정리5.25 원시원의 존재
……정리5.26 대수적 확대체는 단순확대체
……정리5.27 최소분해체는 단순체확대
10. 동형사상에 의해서 벗어나지 않는다
- 갈루아 확대체
……정리5.28 (최소분해체의 차수)=(갈루아군의 위수)
……정의5.8 갈루아 확대체
……정리5.29 Q(alpha)가 갈루아 확대체가 되는 조건
11. 2단 확대 이론으로 증명하기
- 갈루아 대응의 증명
……정리5.30 최소분해체의 정규성
……정리5.31 M의 갈루아군
……정리5.32 차수 공식
……정리5.33 갈루아 대응: M으로부터 시작하기
……정리5.34 갈루아 대응: H로부터
12. M/Q는 갈루아 확대인가?
- 중간체가 갈루아 확대체로 되는 조건
……정리5.35 sigma(M)과 sigmaHsigma^-1의 대응
……정리5.36 중간체가 갈루아 확대체가 되는 조건

제6장 근호로 나타내기
1. 1의 n제곱근을 거듭제곱근으로 나타내기
- 원분방정식의 가해성
……정리6.1 1의 제곱근의 거듭제곱근 표현
2. 3차방정식을 거듭제곱근으로 풀기
- 3차방정식의 근의 공식
3. 3차방정식의 갈루아 대응을 구하기
- 거듭제곱근 확대
4. 4차방정식을 거듭제곱근으로 풀기
- 4차방정식의 근의 공식
5. 4차방정식의 갈루아 대응을 알아보자
- 거듭순환 확대체
……정리6.2 가해군과 거듭순환 확대의 대응
6. 1의 거듭제곱근을 만드는 체
- 원분확대체의 갈루아군
……정리6.3 원분확대체의 갈루아군
7. x^n-a=0이 만드는 확대체
- 쿠머 확대
……정리6.4 거듭제곱근 확대로부터 순환 확대를 만든다
8. 순환 확대는 x^n-a=0으로 만들 수 있다
- 순환 확대에서 거듭제곱근 확대로
……정리6.5 순환 확대로부터 거듭제곱근 확대를 만든다
……정리6.6 데데킨트의 보조 정리
……정리6.7 거듭제곱근 확대를 만드는 거듭제곱근의 존재
9. 피크 정리에 서자!
- 거듭제곱근으로 풀 수 있는 방정식의 조건
피크 정리
……정리6.8 가해군일 때, 해는 거듭제곱근으로 표현된다
……정리6.9 누차거듭제곱근 확대체의 갈루아 폐포
……정리6.10 해가 거듭제곱근으로 표현될 때는 가해군
10. 5차방정식의 근의 공식은 없다
- 갈루아군이 가해군이 아닌 방정식
……정리6.11 위수 p인 원소의 존재 - 코시의 정리

맺음말
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