수학여행자를 위한 안내서

들어가는 글_ 수학이라니, 도대체 무엇에 쓰는 물건일까?_4

수학여행을 떠나기 전에 _9
벌도 셀 줄 아는 수 3│닭이라고 못 셀 것도 없는 수 5│장미의 이름 10│불행을 부를 수 없는 13│모든 질문에 대한 답 42│뼈에 새겨진 숫자 91│하디가 탄 택시 1729│우리 인생에서 가장 중요한 분수 │모나리자의 미소 π│데카르트의 명예훼손 │끝일까, 아닐까? ∞

01 네버 엔딩 스토리, 소수_53
아직도 유클리드는 옳다│소수는 얼마나 많을까? | 천재 페르마가 틀렸다 |수학의 모차르트에게는 오류도 기회다 | 쌍둥이소수와 펜티엄 버그│상금이 주고 싶지 않을 때는

02 수학으로 세상 보기_69
추정치라는 함정│우연한 수, 우연치 않은 수|평균이라는 거짓말│정수가 진리다

03 공식 경보!_85
공식이면 만사형통?│이상형의 공식? | 대가 헌팅턴 교수의 거짓말│피타고라스는 살아 있다!
공식, 예술이 되다

04 작은 수수께끼_105
스도쿠│언제나 같은 자리로 돌아오는 3x+1 | 완벽한 괴물, 홀수 완전수│커다란 수수께끼

05 수학의 요람_123
책상머리│커피메이커│카페│컴퓨터│침대│교회│포로수용소|프린스턴의 다락방│해변
│도서관이 있는 천국│arXiv.org│인터넷

06 신만이 아는 증명_151
증명│오류 이야기│컴퓨터로 찾아내는 증명│정확성│예측불가능성

07 전설이 된 수학자들_171
수학자 대 수학자 | 코발렙스카야가 노벨 수학상을 날렸다고? | 알렉산더 그로텐디크의 잠적

08 수학 그리고 인간_189
폴 에르되시, 영원한 방랑자│잔카를로 로타, 선동가 | 퍼시 디아코니스, 마법사│대니얼 비스, 정치가 | 카롤리네 랏서, 여성

09 수학자가 할 수 있는 것_211
자의식과 비전 | “유감스럽게도 너무 어렵습니다.”_영웅의 길 | 기록 사냥꾼들│우리 안에 숨은 수학 |‘수학 자체’란 없다

역자후기 수학하는 인간의 세계를 보여주다 _225
찾아보기 _226

몇 해 전, 이스라엘 텔아비브대학 수학교수 노가 알론Noga Alon이 라디오에 출연해서 수학에 관한 질문을 받은 적이 있다. 교수는 진행자에게, 소수는 무한히 많다는 것을 증명한 사람은 2,300년 전에 살았던 유클리드라고 설명했다. 그러자 진행자가 물었다. “그런데 그게 아직도 유효한가요?” 물론 아직도 유효하다고 진행자를 안심시키고 싶다. 수학이 아름다운 것은, 아담 리스의 산술이 옳다면 그건 언제까지나 옳기 때문이다. 유클리드에게 배운 방법으로 어떤 것이 옳다고 입증되면, 그 결론은 언제나 옳다. 수학이 신뢰할 수 있고 안정적이며 영원한 진리를 제공한다고 믿는 이유도 바로 그 때문이다. 그러니까 수학에는 이른바 ‘아데나워 학습효과’(“어제 내가 내뱉은 허튼 소리에는 관심 없어!”)란 없다. 물론 그 유명한 아데나워 인용은 실제로 그가 한 이야기는 아니다. 아데나워가 연설 중에, ‘더 현명해질 권리’(기본권이라고 했다)와 정치적인 적들에게서 배울 권리를 들먹인 적은 있지만, 그렇다고 자기가 내놓았던 견해를 ‘허튼 소리’라고 표현한 적은 없었다니 말이다. <차이트Die Zeit>지에 실린 칼럼에서 크리스토프 드뢰서Christoph Dr?sser가 전하는 바에 따르면 그렇다. 하여간 유클리드에게는 어제 유효했던 것이 오늘 유효하지 않게 되는 일은 없다._‘아직도 유클리드는 옳다’ 중에서

페르마 소수가 흥미로운 이유는 무엇일까? 그것은 바로 페르마 소수가 기하학에서 이어져 내려오는 커다란 수수께끼와 연결되어 있기 때문이다. “자와 컴퍼스만으로 그릴 수 있는 정다각형은 어떤 것들일까?” 하는 질문이 그 수수께끼다. 여기에 해답을 내놓은 사람은 카를 프리드리히 가우스였다. 그리고 그 해답은 그가 젊은 시절에 달성한 중요한 업적에 속하는데, (이 해답을 둘러싼 이야기는 이 책 어디선가에 나온다…….) 정n각형을 자와 컴퍼스만으로 작도할 수 있을 필요충분조건은, n이 서로 다른 페르마 소수의 곱이거나, 그런 수에 2의 거듭제곱을 곱한 수라는 것이다. 따라서 정17각형은 자와 컴퍼스만으로 작도할 수 있지만 정7각형이나 정9각형은 그렇게 그릴 수 없다. 그리고 정4,294,967,297각형도 자와 컴퍼스만으로는 그릴 수 없다. 오늘날에는 처음으로 본격적인 대수학 강의를 듣는 수학과 학생들도 가우스의 이 정리를 배운다. 이 정리를 이용한 증명은 더 이상 복잡하지 않기 때문이다. 하지만 가우스의 해답도 여전히 완벽하지 않다. 알려진 것 이외에는 페르마 소수가 없다고 확언할 수 없기 때문이다._‘천재 페르마가 틀렸다’ 중에서

옥외행사, 야외음악회, 선거운동, 시위 등에서는 실내공연보다 추정치를 내기가 어려운데, 그 이유는 두 가지다. 첫째, 숫자를 추정하기가 더 어렵고, 둘째, (적어도 선거운동과 시위에서는) 정치적인 이해관계 때문에 참가자 숫자를 원하는 방향으로 높이거나 터무니없이 낮추기 때문이다. 미국 대통령 후보 버락 오바마가 2008년 베를린의 전승기념탑에서 연설을 했을 때를 생각해보자. 오스트리아 아페아통신(Austria Presse Agentur)은 이렇게 보도했다. “버락 오바마, 베를린 전승기념탑에서 200,000이 넘는 청중을 열광시키다.” 이 제목을 읽은 사람은 ‘200,000이 넘는’이라는 부분을 인상 깊게 받아들인다. 기사는 이렇게 이어진다. “200,000이 넘는 청중의 환호성을 들으며, 버락 오바마는 미국과 유럽이 갈등을 뒤로 하고 지구온난화와 테러리즘 같은 전 지구적인 문제를 해결하는 데 함께 나설 것을 요구했다.” 먼저 숫자에 깊은 인상을 받은 독자는 오바마의 이야기에 공감할 수밖에 없을 것이다. 독일의 중도보수 신문인 ＜프랑크푸르터 알게마이네 차이퉁(FAZ)＞은 같은 일을 두고도 훨씬 의심스런 톤으로 기사를 쓸 수 있음을 잘 보여주었다. “미국 민주당 상원의원 오바마는 수만 명 청중에게 외쳤다. ‘세계의 민족들이여, 베를린을 보라!’ 그는 1948/1949년 베를린 봉쇄 때 제국의회 광장에서 당시 베를린 시장 에른스트 로이터Ernst Reuter가 300,000이 넘는 시민들에게 한 연설을 상기시켰다.”_‘추정치라는 함정’ 중에서