수학자가 알려주는 증명의 함정

들어가며

1장 유클리드에서 독립선언까지, 국가적 공리의 균열
2장 논리가 수학적 괴물을 만들다
3장 죄인 100명 vs 무고한 한 명, 정의의 거울은 어디로 기우는가?
4장 차 시음과 맥주 양조, 우연이 낳은 통계의 규칙
5장 패러다임이 흔들릴 때, 불확실성의 과학
6장 거짓의 사다리, 반복이 진실이 되는 순간
7장 기계의 증명, 설명 없는 정답을 믿을 수 있을까?
8장 불확실성 속에서 얼마나 손해를 감수할 것인가?

감사의 글
주

자명한 공리와 상세한 규정집이 어떤 국가를 시간 속에 고정하려고 하는 반면 정치와 대중의 감성은 수시로 변한다. 모순과 누락이 생겨날 수밖에 없다. 사회가 존속할 수 있으려면 유연하게 적응해야 한다. 사회에 내재한 충돌을 적극적으로 해결하고, 때로는 포용할 수도 있어야 한다. 결국 미국의 노예제는 새로운 규칙―수정헌법 제13조―을 명시하고서야 폐지할 수 있었다. 건국의 아버지들이 세운 공리는 시간이 흐르며 계속 변화했다. 1896년 미국 대법원은 공공시설의 인종별 ‘분리 평등 정책’이 헌법을 위배하지 않는다고 판결했다. 그러나 분위기는 서서히 바뀌었다. 그리고 1954년 대법원은 그 결정을 뒤집으며, “분리 교육 시설은 본질적으로 불평등하다”라고 판시했다. 20세기 초 여성의 참정권을 부정했던 일이나 제2차 세계대전 기간에 일본계 미국인을 강제로 억류했던 일 역시―둘 다 당시에는 합헌이었으나 이후 비난을 받았다―평등 개념의 변화를 보여준다.

포퍼의 접근법에서 핵심은 반증이다. 포퍼는 우리가 어떤 것이 참임을 확실하게 보일 수 없지만 어떤 것이 거짓임을 보일 수는 있다고 주장했다. 증명할 수 있는 것은 없다. 반증만 있을 뿐이다. 앞서 우리는 이미 바이어슈트라스와 그 추종자들이 한때 참이라고 여겼지만 거짓으로 드러난 정리로 미적분학의 개념들을 찢어발긴 수학적 괴물을 만들어낸 일을 살펴보았다. 포퍼의 관점에서 과학은 이런 취약성에 관한 것이었다. 과학적 주장이 더욱 대담하면, 예측은 더욱 풍성하고, 연구는 더 훌륭하다.