도쿄대 사고력 수학특강

역자 머리말
머리말

첫째 날, 수학으로 생각하는 방법
공식은 잊어도 사고법은 잊지 않는다
현상의 배경에 있는 ‘이론’을 알고 싶다
수학으로 사회에 도움이 되고 싶다
수학에도 스포츠의 ‘근성’을
논리의 계단, 어디까지 오를까?
이유를 알 수 없는 것을 점점 연결해 간다
방향은 무한, 답은 하나가 아니다
다음의 한걸음을 내디딜까 말까
‘성실’과 ‘불성실’ 사이를 왔다 갔다
수학의 지도를 머리에 넣는다
수학으로 마술이 가능한가?
숫자가 달라도 이퀄?

둘째 날, 세상을 이해하기 위한 도구
추상력과 단순화
수학자를 속이기 어려운 이유
뺑소니 사건의 진범은?
수식에서 호흡이 들린다
시뮬레이션으로 미래를 본다: 미분
작은 것은 큰 것을 겸한다
과거를 잡아당기는 2번 미분
신은 낭비하지 않는다
단면과 주역을 알고 있다
실마리를 잡아 ‘흔들흔들 식’을 찾는다
인간관계의 갈등이 풀린다? - 게임이론
어느 쪽 사회가 더 행복한가?
볼 수 없는 것을 소리로 찾는다 - 역문제
풀 수 없는 문제 ① ‘벽보 금지’라는 벽보
풀 수 없는 문제 ② 세일즈맨 문제와 상자 담기 문제
풀 수 없는 문제 ③ 카오스
풀 수 없는 문제 ④ 모순

셋째 날, 수학이 현실에 적용되는 과정
교과서에서 현실 세계로
네 개의 개천을 뛰어넘어
부서지지 않는 파의 덩어리를 풀다 - 솔리톤 이론
문제해결 연구실 - 오키노토리 섬까지
2000만 엔의 소프트웨어보다 종이와 연필과 수학으로
수학을 사용해서 우주의 쓰레기를 줍는다?
‘복사기’를 만드는 방법 - 세포자동자
1과 0으로 복잡한 현상을 시뮬레이션한다
정말 싫은 정체를 연구대상으로
정체=물이 얼음으로 변할 때
고속도로 정체는 어떨 때 일어날까?
개인의 힘이 정체를 없앤다?
기둥이 있어서 빨리 피난할 수 있다?

넷째 날, 수학으로 사회문제 해결
문제해결을 위해 필요한 것
‘인생의 선택’으로 망설인다면-타협점을 발견하는 관계 그래프
가까운 정체를 생각한다
비어 있는 안쪽 창구로 사람을 유도하려면
대상의 ‘급소’를 발견하다
아이템 장착 ① 인파와 걷는 속도의 관계
아이템 장착 ② 최상급 흐름은 ‘1초 규칙’
아이템 장착 ③ ‘영차’로 간략화하는 의미
문제해결 ① 베이스의 정량화 3만 명이 늘어선 도쿄 마라톤 출발 지점
문제해결 ② 베이스의 식을 세운 속도와 밀도 관계를 일차함수로
문제해결 ③ 해결하기 위한 아이템을 속도가 전한다 ‘팽창파’
문제해결 ④ 극치로 대답을 ‘최소시간’을 미분으로 찾는다
신주쿠 역에 메카 순례의 사고방지 힌트가 있다?
낭비의 반대를 말할 수 있나?
흔들흔들 진동경제와 ‘교대로 하는 사회’
맺음말
풀이

어려운 문제가 아무래도 풀리지 않을 때 어느 정도 생각하다보면 누구나 피곤해져버리죠. 그런데 그 순간에 이제 됐어. 답을 봐버리자.”하면서 답을 들여다보았다면 이제부터는 절대 답을 보지 말기 바랍니다. 수학에 적합하지 않은 사람은 사실 없을 거라고 생각합니다. 한계에 이르러 ‘와!!!’ 하고 힘을 내야 하는 순간이 우리 모두의 삶 어느 부분에서 분명히 있었을 거예요. 그런 순간을 수학에서도 느끼고 맛보길 바랍니다.

‘A가 맞다’ 그리고 ‘B도 맞다’는 경우도 있을 수 있습니다. 쌓아올린 하나하나가 맞다면 다른 방향으로 날아가도 괜찮습니다. ‘수학은 답이 하나다’라고 말하는 사람들이 있지만, 사실은 어느 정도까지 가면 답은 하나가 아니게 됩니다. 한 단계씩의 논리에서의 답이 하나뿐일 수밖에 없지만 가정과 조건에 의해 몇 가지로 갈라질 수 있습니다. 갈라짐이 많으면 답도 여러 가지가 나옵니다. 그리고 어떤 조건이 성립하면 어떤 답이 되는가를 정리하는 것이 수학입니다.

여러분은 ‘수학자는 언제나 뭔가 말도 안 되게 복잡한 것을 생각하고 있겠지’라고 상상할지도 모르지만 그렇지 않습니다. 출발점에서는 예를 들어 ‘뭔가가 빨갛다’라든가‘둥실둥실하다’ 라든가 이런 이미지로 시작합니다. 아무리 굉장한 연구자라도, 아무리 어려운 방정식을 다루고 있어도 발상하는 순간 머릿속에 있는 근본은 중학생 정도의 수준이라고 생각합니다.

수학은 어떤 것이 옳은지 옳지 않은지를 확실히 논의하려고 하는데, 논리를 전개하는 방법에 따라 어느 한쪽이 아니라 어느 쪽의 결론도 이끌어낼 수 있게 된다면 큰일이지요. 이런 것이 경우에 따라서는 일어날 수 있다는 것이 불완전성정리입니다. 나는 불완전성정리는 신이 인류에게 만든 뇌의 ‘버그’가 아닐까 하는 생각을 합니다. 이것은 수학 기초론이라는 분야에서 다루고 있는 것인데, 이런 암흑을 계속 연구하고 있는 사람들도 많습니다.

세상은 어떤 의미로 모두 연결되어 있고, 서로 끊어져 있는 것은 없지요. 사실 세상 모든 일은 비선형(해석할 수 없는, 규칙과 패턴이 없는)이라고 할 수 있습니다. 인간관계도 그렇고, 플러스와 마이너스의 입자가 서로 끌어당기고, 지구와 태양 사이도 만유인력으로 서로 끌어당기고 있다고 하지요. 이렇게 모든 것은 뭔가 힘으로 서로 작용하고 있습니다.

돌을 떨어뜨리면 직선으로 곧장 아래로 떨어집니다. 나뭇잎처럼 팔랑팔랑 흔들리며 떨어지지 않습니다. 흔들흔들 떨어지면 낭비라고 생각되지 않나요? 최단거리로 떨어지면 가장 낭비가 없다와 같은 감각은 실제로 중요한데, 자연계에도 신에게도 비용이라는 개념이 있어서 가급적 비용을 줄이려는 듯 자연계를 움직이고 있다고 생각하는 것입니다. 신은 작용이라는 것을 항상 점검하고, 이것을 되도록 사용하려고 하지 않습니다. 비용이 최소가 되도록 해서 자연계를 움직이는 원리를 ‘ 최소작용의 원리’라고 합니다. 이것이 물리의 가장 기본이 되는 것입니다.
- 본문 中