처음 읽는 수학의 세계사

프롤로그

제1장 고대 수학

1. 고대 오리엔트 수학
수와 사칙 계산 : 14
산술 문제 : 18
아하의 문제 : 19
세케드의 문제 : 20
정사각형의 대각선 길이 : 21
원의 면적 : 23
고대 오리엔트 수학의 특징 : 25

2. 탈레스와 피타고라스학파
신화에서 이성으로 : 31
자연 철학의 두 전통 : 37
원리로부터의 도출 : 42
귀류법의 발명 : 45
피타고라스학파의 콰드리비움 : 47
협화 음정 비율의 발견 : 49
피타고라스 음계 : 54
피타고라스의 정리 : 55
피타고라스학파의 상징 : 57
무리량의 발견 : 60

3. 플라톤의 수학론
이데아론의 탄생-《파이돈》 : 66
이데아론의 완성- 《국가》 : 70
플라톤주의적 수학관 : 74
플라톤의 입체 : 79
그리스의 3대 난제 : 83

4. 논증 수학의 성립
그리스 초기의 증명 개념 : 86
유클리드의 《기하학 원론》 : 89
정의, 공준, 공리 : 90
평면 기하학 : 95
기하학적 대수 : 97
비례론과 그 응용 : 99

5. 수론과 그 발전
피타고라스학파의 수론 : 102
유클리드 《기하학 원론》 제7~9권 : 107
니코마코스의 수론 : 110
디오판토스의 《산수론》 - 축약된 대수학 :114

6. 헬레니즘 시대의 수학
에우독소스의 실진법 : 117
아르키메데스에 의한 원의 구적 : 121
원주율의 계산 : 124
아르키메데스의 구적법 : 125
중심에 관한 연구 : 131
아폴로니오스의 원뿔곡선론 : 134

7. 그리스의 삼각법
태양과 달의 크기 : 138
지구의 크기 : 141
메넬라오스의 정리 : 143
프톨레마이오스의 <현표> : 146
톨레미의 정리 : 151

8. 그리스 수학의 종언
헤론의 공식과 헤론의 삼각형 : 155
파포스의 《수학집성》 : 159
평균의 도식화 : 161
아벨로스의 문제 : 162
준정다면체 : 164
분석과 종합 : 166
파포스의 여러 정의 : 168

제2장 중세 수학

1. 인도의 수학
제단의 수학 : 172
0의 발견 : 175
아리아바타의 수학 : 179
브라마굽타의 수학 : 182
바스카라의 수학 : 183

2. 아라비아의 수학
아라비아의 산술 : 190
아라비아의 대수학 : 192
아라비아의 삼각법 : 195
아라비아의 기하학 : 198
아라비아의 수론 : 201

3. 중국의 수학
유휘와 《구장산술》 : 205
조충지와 조긍지 : 211
‘산경십서’의 성립 : 215
타적술과 천원술 : 218
주세걸과 정대위 : 224

4. 일본의 수학
중국 수학의 유입과 주판의 전래 : 228
나눗셈 천하제일, 모리 시게요시 : 233
《진겁기》와 유제 계승 : 241
세키 다카카즈와 세키류 와산 : 252
산가쿠 봉납 : 257

5. 중세 유럽의 수학
피보나치의 《산반서》 : 260
아리스토텔레스의 운동론 : 264
필로포누스의 운동론 : 268
임페투스 이론 : 270
질의 양적 표시와 그래프 표시 : 274

제3장 근대 수학

1. 기호 대수학의 성립
삼차 방정식과 사차 방정식의 해법 : 278
대수 기호의 발명 : 284
비에트의 기호대수 : 286

2. 근대 역학의 형성
초기 갈릴레오 운동론 : 290
아르키메데스에게 배우다 : 293
하락 모멘트 : 296
제2낙하법칙–시간 제곱 법칙의 발견 : 300
제2낙하법칙–속도·시간 비례 법칙의 발견 : 305
제1낙하법칙의 발견 : 309

3. 확률론의 시작
카르다노와 갈릴레오 : 313
드 메레의 의문 : 317
두 도박사의 분배 문제(1) : 319
두 도박사의 분배 문제(2) : 321
두 도박사의 분배 문제(3) : 321
페르마의 해법 : 322
세 도박사의 분배 문제 : 325
파스칼에 의한 수학적 귀납법의 발견 : 328

4. 해석 기하학의 탄생
데카르트의 《정신 지도 규칙》 : 334
‘차원 동차성의 법칙’으로부터의 탈각 : 337
대수적 연산과 기하학적 작도 : 339
데카르트의 기호법 : 341
데카르트의 해석 기하학 : 342
페르마의 해석 기하학 : 344
데카르트와 페르마의 비교 : 346

5. 접선 문제와 구적 문제
데카르트의 접선법 : 349
페르마의 접선법 : 353
데카르트의 새로운 접선법 : 357
케플러의 구적법 : 359
카발리에리의 불가분량법 : 364
파스칼의 구적법 : 370

6. 무한의 산술화
거듭제곱 수의 합을 구하는 방법 : 377
원의 구적 문제 : 380

7. 접선법과 구적법의 통일로 가는 길
기본 정리로의 운동학적 접근 : 390
기본 정리로의 기하학적 접근 : 393

8. 미적분법의 발견
뉴턴의 일반이항정리 발견 : 403
뉴턴의 접선법 : 407
뉴턴에 의한 유율 개념의 등장 : 408
뉴턴의 1666년 10월 논문 : 411
라이프니츠의 변환 정리 : 414
라이프니츠의 <구적 해석 제2부> : 421
라이프니스의 미분과 적분의 통일적 파악 : 423
찾아보기 : 425

메소포타미아와 이집트에서는 문자와 숫자가 발명되었으며 고도의 수학적 지식도 축적되었다. 또한 계절의 변화에 대한 이해는 농업 생활에서 빼놓을 수 없는 것이었기에, 천체 관측도 오래전부터 꾸준히 실시되었다.
바빌로니아인은 1년을 360일로 정하고 다시 30일씩 12개월로 나누었는데, 1일을 12개의 2시간으로 나누고, 1시간을 60분, 1분을 60초로 나눈 것도 그들이었다. 또한 이집트에서는 1년이 365일이라는 사실을 알고 있었다. 이처럼 인류 역사에서 여러 수학적 과학이 처음 등장한 곳은 메소포타미아와 이집트 지역이었는데, 오늘날에는 이 지역을 ‘오리엔트 지방’이라고 부른다.

고대 이집트의 수학에 관한 문서는 몇 가지가 존재하는데, 특히 대영박물관에서 소장 중인 《린드 파피루스(Rhind Papyrus)》라는 수학 문서가 유명하다. 기원전 1650년경 만들어졌다고 추정되는 《린드 파피루스》는 테베의 라메세움 가까이에 있는 폐허에서 발견되었는데, 그를 영국인 헨리 린드가 사들이면서 그와 같은 이름이 붙여졌다. 다만 이 수학 문서는 고대 이집트의 서기, 아메스(Aahmess)가 썼다고 알려져 있어, 《아메스 파피루스(Aahmes Papyrus)》라고도 불린다.

피타고라스학파의 시조로 여겨지는 피타고라스는, 이오니아 지방의 사모스섬에서 보석 가공사 므네사르코스의 아들로 태어났다. 그리고 18세 즈음에 탈레스의 가르침을 받았는데, 피타고라스는 이미 나이가 많았던 스승 탈레스의 추천으로 이집트, 바빌로니아등을 여행하고 경험한 뒤 사모스섬으로 돌아왔다. 하지만 피타고라스는, 당시 폴리크라테스에 의한 참주 정치가 행해지던 사모스섬이 철학하기에 적합하지 않은 환경이라고 생각하여 이탈리아 남부로 향했다. 크로톤에 정착한 피타고라스는 반종교적, 반정치적 단체를 창설하고, 그곳에서 여러 학문의 연구에 몰두했다.