수학으로 우주제패

머리말 : 여행을 떠나기에 앞서

1장 지금 이 자리에서 우주를 제패하는 방법
우주와 인류를 연결해 주는 수학
안드로메다 대성운을 손 안에 담는다

2장 삼각형에 숨겨진 신비한 힘
신비한 인물, 피타고라스의 발자취를 따라
인류의 위대한 발견, 삼각함수

3장 평행선에 숨어 있는 우주의 수수께끼
평행선은 영원히 평행할까?
우주는 휘어 있다
새로운 기하학을 향해 떠나는 여행, 리만 기하학

4장 우주의 최소 단위는 ‘끈’이었다
우주의 근원을 찾아라
확률로 모든 것을 설명하는 양자역학의 세계

5장 우주는 무(無)에서 만들어졌다
광활한 우주를 알기 위해 극소 세계를 들여다보다

6장 무한으로 연결된 우주와 수(數)
유한과 무한의 불가사의한 관계
무한의 의미를 가르쳐 주는 수의 세계

7장 ‘1’에 도달하기 위한 여행
무한을 유한으로 바꾸는 제타함수
무한의 끝에서 기다리는 것

맺음말 : 우주의 끝은 새로운 시작

구조를 파악하는 일은 우주를 제패하는 데 있어 없어서는 안 될 요소이다. 즉 우주가 어떤 형태를 띠고 있는지 알아내기 위해서는 위상기하학의 힘을 빌려야 한다. 우리는 우주 전체를 볼 수 없으므로 일부를 가지고 전체를 유추할 수밖에 없는데, 그 수단 중 하나가 위상기하학이다.
빅뱅 이후 우주 공간이 계속 팽창하고 있다고 하니 우주는 구와 같은 형태라고 생각하기 쉽다. 하지만 사실 도넛과 같은 토러스(torus) 형태로 추측하고 있다.
도넛은 3차원 곡선이지만 표면만 보면 2차원 다양체이다. 좀 더 정확히 말하면 2차원 폐곡면이 3차원 공간에 떠 있는 형태가 도넛이다. 마찬가지로 지구 역시 2차원 폐곡면이 3차원 공간에 떠 있는 형태이다.
같은 방식으로 생각하면 3차원 폐곡면은 4차원 공간에 떠 있는 것이다. 이처럼 4차원 공간에서 실현된 3차원 폐곡면(3차원 다양체)이야말로 우주의 모습이다. 그것이 어떤 형태인지 알아보려면 우리는 4차원 공간을 머릿속으로 그리는 훈련을 거듭해야 한다. - 본문 중에서

우리는 그야말로 무한 속에 존재하고 있다. 까마득히 먼 곳까지 가지 않아도 주변이 온통 무한으로 둘러싸여 있다. 하지만 삼라만상이 그렇듯 우주는 우리에게 무한을 그대로 드러내지 않고, 반드시 유한한 값으로 보여 준다. 무한은 아주 교묘하게 유한 속에 그 모습을 감추고 있다.
따라서 무한을 느끼려면 우선 수학적인 감각을 키워야 한다. 수학적인 감각을 기르지 않으면 무한 속에 살고 있다는 사실을 영원히 깨닫지 못한다.
내가 수학을 연구하는 가장 큰 이유도 바로 여기에 있다. 우리가 비록 유한한 존재이기는 하지만 유한한 것밖에 느끼지 못한다면 인생이 얼마나 따분하겠는가. 수학은 무한을 엿볼 수 있는 불가사의한 안경이다. 수학이라는 안경을 쓰면 우주가 무한 속에 있다는 사실과 유한한 값으로만 드러내는 우주의 구조를 볼 수 있다. - 본문 중에서