기하학과 상상력

서문 4
1장 가장 간단한 곡선과 곡면 11
1.1 평면곡선 13
1.2 원기둥, 원뿔, 원뿔곡선, 회전곡면 21
1.3 이차곡면 27
1.4 실을 이용한 타원면의 작도법과 동일초곡선 이차곡면들 36
1장 부록
1. 원뿔곡선의 발판점 작도 43
2. 원뿔곡선의 준선 46
3. 쌍곡면의 움직일 수 있는 막대 모형 49

2장 정칙 점체계 53
2.1 평면격자 55
2.2 수론에서의 평면격자 63
2.3 삼차원 이상에서의 격자 74
2.4 정칙 점체계로서의 결정 83
2.5 정칙 점체계와 불연속운동군 89
2.6 평면운동과 합성. 평면운동의 불연속군의 분류 93
2.7 무한 기본영역을 갖는 평면운동의 불연속군 100
2.8 평면운동의 결정학적군. 정칙 점체계 및 정칙 유향점체계.
평면을 합동인 영역으로 분할하기 108
2.9 결정 클래스, 공간의 운동군, 좌우 대칭을 갖는 군과 점체계 124
2.10 정다면체 134

3장 사영배치 139
3.1 평면배치에 관한 사전 관찰 143
3.2 (7￡)과 (8￡) 배치 146
3.3 (9￡) 배치 153
3.4 원근법, 가상의 원소, 평면에서의 쌍대성 165
3.5 공간에서의 가상의 원소와 쌍대성의 원리. 데자르그의 정리와 데자르그 배치 공백(10￡) 174
3.6 파스칼의 정리와 데자르그의 정리 비교 185
3.7 공간의 배치에 대한 예비 관찰 191
3.8 레예 배치 193
3.9 삼차원과 사차원의 정칙 초다면체와 사영 204
3.10 기하학에서의 계수적 방법 218
3.11 슐래플리의 쌍육 226

4장 미분기하 235
4.1 평면곡선 238
4.2 공간곡선 247
4.3 곡면의 곡률. 타원점, 쌍곡점, 포물점. 곡률선과 점근곡선.
배꼽점, 극소곡면, 원숭이 안장 252
4.4 구면상과 가우스곡률 264
4.5 전개곡면, 모선곡면 278
4.6 공간곡선 비틀기 286
4.7 공의 열한 가지 성질 291
4.8 곡면을 보존하며 구부리기 312
4.9 타원기하 315
4.10 쌍곡기하, 유클리드 기하 및 타원기하의 관계 325
4.11 극사영과 원을 보존하는 변환. 쌍곡평면의 푸앵카레 모형 332
4.12 등장사상, 넓이 보존 사상, 측지사상, 연속사상, 등각사상 345
4.13 기하학적 함수론. 리만 사상 정리. 공간에서의 등각사상 349
4.14 곡면의 등각사상. 극소곡면. 플라토의 문제 356

5장 운동학 361
5.1 연동장치 364
5.2 평면도형의 연속 강체운동 368
5.3 타원 및 윤전선을 작도하는 장치 378
5.4 공간에서의 연속운동 381

6장 위상학 385
6.1 다면체 388
6.2 곡면 396
6.3 단면곡면 404
6.4 폐곡면으로 본 사영평면 419
6.5 연결도가 유한인 곡면의 표준형 430
6.6 곡면에서 자신 위로의 위상학적 사상.
부동점. 사상의 클래스. 토러스의 보편 덮개곡면 434
6.7 토러스의 등각사상 440
6.8 인접영역의 문제, 실 문제와 채색 문제 445
6장 부록
1. 사차원 공간에서의 사영평면 454
2. 사차원 공간에서의 유클리드 평면 456

참고문헌 457
옮긴이 후기 458
찾아보기 463

이 책의 목적은 기하학을 시각적이고 직관적으로 표현하는 것이다. 시각적 상상의 도움을 받아 다양체에 기하학적 사실 및 문제를 설명할 수 있는데, 많은 경우 개념을 엄밀하게 정의하거나 실제 계산에 자세히 들어가지 않고도 연구 및 증명 방법의 기하학적 윤곽을 집어낼 수 있다. 예를 들어, 구멍이 난 공은 ─ 아무리 구멍이 작다고 하더라도 ─ 구부릴 수 있다는 사실이나, 서로 다른 토러스 모양의 곡면을 서로의 위로 각을 보존하며 감쌀 수 없다는 사실을 해석학적 논증을 세세히 따르고 싶지 않은 사람에게도 왜 그리고 어떻게 증명하는지 감을 얻을 수는 있도록 다룰 수 있다.

지금까지는 초곡선을 논의했는데, 이제 동일초곡선 가족 내에서 종류가 다른 두 곡면의 쌍이 만나 이루는 다른 곡선들을 생각할 때가 됐다. 나중에 논의하겠지만 이 곡선들은 미분기하학적으로 간단한 성질을 갖는다(258쪽을 참고). 이들은 처음으로 평면에 들어 있지 않은 곡선의 예를 제공한다. 일반 위치에 있는 임의의 두 이차곡면이 만나 생긴 곡선은 통째로 한 평면 속에 들어 있지 않는 한 임의의 평면과 다섯 점 이상에서 만날 수는 없다. 평면이 각 곡면과 만나면 두 개의 원뿔곡선을 이루는데 일치하지도 않고 직선 전체를 공유하지도 않는 두 원뿔곡선은 다섯 점 이상에서 만날 수 없다는 것을 ─ 이 정리는 직관적으로도 당연하다 ─ 해석학적으로 쉽게 증명할 수 있기 때문이다(221쪽을 참고).

민코프스키(Minkowski)가 격자에 대해 성공적으로 증명한 정리는 단순함에도 불구하고, 다른 방법으로는 취급하지 못한 수론의 많은 문제를 해결했다. 명쾌하게 하기 위해 여기에서는 가장 일반적인 형태로는 이 정리를 기술하지 않고, 공식화하기 쉬우면서도 정리의 정수는 모두 담아 내는 특별한 경우로 한정하려고 한다. 정리는 다음과 같다.
한 변의 길이가 2인 정사각형을 그 중심이 격자점에 놓이도록 아무 평면 단위격자에 겹쳐 놓으면 정사각형의 내부나 경계에는 반드시 다른 격자점이 존재한다.