김용운의 수학사

머리말 - 수학사를 통해서 얻는 것
제1장 고대의 수학
1 수학은 어떻게 시작되었는가
고대 국가에서의 수학 / 고대 이집트의 수학 / 승려들의 수학 / 셈의 시작 / 등차급수와 등비급수 / 바빌로니아의 60진법 / 그리스 이전의 도형 연구 / 고대 수학의 신비 사상 / 고대 수학의 침체 원인
2 이론적인 수학의 시작?그리스의 수학
그리스란 / 그리스의 철학 / 그리스 시대의 수학과 학문
3 그리스 수학계의 거인들
탈레스 / 피타고라스 / 플라톤 / 유클리드 / 3대 난문 / 아르키메데스 / 로마로 간 그리스 수학 / 후기 알렉산드리아

제2장 중세의 수학
1 중세의 사회상
로마 사회와 문화 / 그리스 과학의 몰락-로마 과학의 발흥 / 중세 암흑시대 / 수도원 수학 / 중세의 계산술과 수학책
2 비유럽 세계의 수학
인도 사회와 수학 / 인도의 대수학-2차방정식 / 아라비아 수학의 배경-사라센 제국과 그 문화 / 아라비아의 대수학
3 중세 유럽의 상업 수학
상인 계급의 대두 / 동방 수학의 수입 / 피보나치와『계산판의 책』/ 상업 수학과 수도원 수학의 대립 / 오렘 / 중세 암흑시대의 의미

제3장 르네상스 시대의 수학
1 르네상스의 서광
르네상스 사회 / 르네상스 정신 / 르네상스 수학의 특징 / 파치올리 / 3차방정식의 해법 / 타르탈리아 / 문예부흥에서 과학혁명으로-새로운 수학 시대의 환경 변화 /기호의 정비 / 레오나르도 다 빈치와 투시화법
2 천문학과 수학
천문학과 계산술 / 천문학의 발달 배경 / 천체력의 작성과 삼각법 / 태양중심설과 천체 운동 / 케플러 / 로그[對겤]의 발견
3 수학의 새로운 사상
대수학의 기초 작업 / 스테빈 / 비에트 / 원근법과 사영기하학 / 새로운 기하학의 탄생

제4장 근세의 수학
1 17~18세기 유럽의 수학
사회적 배경 / 과학과 기술 / 근세의 수학- ‘변량’과‘운동’의 등장 / 대수학의 기본정리 / 구적(求積)과 극한 개념(1)-케플러의 방법 / 구적과 극한 개념(2)-카발리에리의 방법
2 해석기하학의 탄생
그리스 고전 기하학의 한계 / 기호대수학에서 해석기하학으로 / 코기토 에르고 숨(Cogito erogo sum) / 데카르트의 해석기하학 / 페르마 해석기하학 / 파스칼-기하학적 정신과 섬세(纖細)의 정신 / 확률론의 시초-파스칼과 도박 / 파스칼의 삼각형

제5장 미적분학의 발명
1 미적분학의 탄생
17세기의 영국 / 영국의 수학 / 미적분학 탄생 전야 / 해석학이란 무엇인가 / 접선의 개념 / 미분적분학 / 뉴턴과 미적분 / 만유인력 / 유율법 / 라이프니츠와 미적분 / 미적분 발견의 우선권 싸움 / 뉴턴과 라이프니츠의 방법 비교
2 뉴턴과 라이프니츠의 후계자들
국립과학아카데미 / 미적분 발견 이후의 수학계 / 테일러와 맥클로린 / 베르누이 일가 / 오일러 / 라그랑주 / 라플라스 / 초기 미적분학의 한계 / 해왕성에 대한 이야기/뉴턴과 결정론(決定걩) / 뉴턴 역학의 한계
3 확률론
통계학

제6장 근대의 수학-18세기에서 19세기까지
1 대수학과 해석학
근대 수학의 사회적 배경 / 근대 수학의 배경 / 18세기와 19세기는 무엇이 다른가 / 코시 /‘ 방정식을 푼다’는 것의 의미 / 비운의 천재, 아벨과 갈루아
2 새 기하학
화법기하학 / 사영기하학 / 곡면기하학(미분기하학) / 비유클리드 공간 / 비유클리드 기하학의 탄생 / 볼리야이와 로바체프스키 / 리만

제7장 에필로그-수학의 새로운 진로 모색
1 프랙탈과 카오스
프랙탈 기하학 / 컴퓨터와 과학혁명 / 컴퓨터와 카오스의 등장
2 수학사의 방법론
패러다임 이론 / 범(汎)패러다임 이론 / 패러다임과 범패러다임-수학사를 대하는 기본적인 입장에 대하여

맺음말을 대신하여
부록 세계수학사연표
색인

이들 고대의 수학은, 기원전 6세기로부터 기원전 5세기에 걸쳐서 탄생한 그리스 수학에 의해 마치 아침해가 뜨자마자 사라지는 이슬처럼 자취를 감추고 말았다고 하는 사람들이 있지만 그것은 너무 터무니없는 이야기이다. 그리스 수학이라 불린 이후에도 아주 오랫동안 이집트나 바빌로니아 수학은 제 구실을 하였을 뿐만 아니라 그리스 수학에 실제로 영향을 끼쳤다는 것을 잊어서는 안 된다. 특히 그리스 초기의 수학자는 모두 예외 없이 이집트, 바빌로니아, 그리고 지중해연안과 아시아의 나라들을 두루 다니면서 수학을 익히고, 그 지식을 자기 나라 사람들에게 전하였다. 그리스 이전의 수학이 그리스처럼 완전한 지식 체계를 갖추지는 않았다고 하더라도 그의 원천이었다는 것만은 틀림없는 사실이다.

이들 고대의 수학은, 기원전 6세기로부터 기원전 5세기에 걸쳐서 탄생한 그리스 수학에 의해 마치 아침해가 뜨자마자 사라지는 이슬처럼 자취를 감추고 말았다고 하는 사람들이 있지만 그것은 너무 터무니없는 이야기이다. 그리스 수학이라 불린 이후에도 아주 오랫동안 이집트나 바빌로니아 수학은 제 구실을 하였을 뿐만 아니라 그리스 수학에 실제로 영향을 끼쳤다는 것을 잊어서는 안 된다. 특히 그리스 초기의 수학자는 모두 예외 없이 이집트, 바빌로니아, 그리고 지중해연안과 아시아의 나라들을 두루 다니면서 수학을 익히고, 그 지식을 자기 나라 사람들에게 전하였다. 그리스 이전의 수학이 그리스처럼 완전한 지식 체계를 갖추지는 않았다고 하더라도 그의 원천이었다는 것만은 틀림없는 사실이다.

르네상스기에는 지배 계층인 교회와 그 압력으로부터 벗어나려는 신흥 상공업 계층 사이의 대립이 계속되었다. 이 시대적 배경을 반영하여 낡은 수도원 수학과 새로운 상인 수학이 서로 대립하였다. 중간쯤의 위치에 대학(大學) 수학이 있었다. 14세기 베네치아와 제노바의 상업에 이어서 피렌체의 은행업이 성대하게 발전하자, 이탈리아 시민은 이 상업을 방패로 교회의 권위에 대항할 만한 힘을 가지게 되었다. 이탈리아에 있어서의 상업산술(商業算術)의 대유행은 당시의 경제활동이 어느 정도였는지를 잘 말해 주고 있다. 피렌체, 니스, 베네치아 등의 도시에서 수많은 수학책이 발간되었는데, 이 모두가 상업 산술이었고, 내용이나 문제가 당시 사회의 요구에 잘 맞도록 꾸며져 있었다. 이중에서 보르기(Pietro Borghi)의『산술(Arithmetica)』(1484)이 가장 중요한 구실을 하였다. 베네치아에서 발행된 이 책은“나는 상인용의 실용수학을 엮었다.”라는 말로 시작한다. 이 선언대로 여기서는 종래의 로마 숫자 대신에 아라비아 숫자를 전면적으로 사용하고 있다. 보에티우스식 중세적인 수론은 이미 말끔히 자취를 감추고 기수법(記겤法), 계산사칙(計算四則), 도량형(度量衡), 분수, 합자(合資)셈, 화폐 계산, 혼합셈, 가정법(假定法) 등으로 꾸며져 있다. 그러나 수도원의 수학자들은 이러한 새 기운과는 아랑곳없이 여전히 보수성을 지키기에 여념이 없었다. 보에티우스식의 중세 수학을 고수하는 일에 수도원의 일류 수학자들이 정력을 기울이고 있었던 것이다. 또한, 앞에서 이야기한 피보나치의 수학책은 당시의 대학에서 쓰이기에는 너무 부피가 크고 수준도 높았다. 그보다 너무 상업적인 내용이어서 보수적인 대학교수들의 구미에 맞지 않았다. 사실 대학 수학도 수도원 수학의 한 분파에 지나지 않았고, 점성술 같은 미신적 요소가 피타고라스식의 그리스 수론, 보에티우스수학의 테두리 내에서 맴돌고 있었다. 대학의 지배적 분위기는 비교적 자유스러웠고, 심지어는 국가와 교회를 비판할 정도였으나, 수학에 대한 연구만은 형편없었다. 대체로 대학 창립 당시에는 아직도 과학적인 정신은 길러지지 않았고, 로저 베이컨과 같은 사람의 진취적인 과학사상은 이단으로 취급되어, 그 때문에 심한 박해를 당할 형편이었으니까 말이다.