수학의 몽상

프롤로그

1. 수학속으로
진리 게임 / 수학자와 맹구 / 모든 수학이론이 수학적 진리와 무관하다는 것의 수학적 증명 / 수학의 본질은 자유다 / 수학의 초상들

2. 근대의 과학혁명과 수학
마술과 과학 사이에서 / 마술사를 과학자로 만드는 법 / 수리수리 마하수리 / 신 또한 수학의 주문에 걸리고 / 새로운 세계가 열리리니 / 우주정거장 안에서

3. 계산공간의 탄생
코끼리 - 기계와 뒤엉킨 탑 / 코끼리 - 에펠탑 = ? / 숫자라고 다 같은 건 아니다 / '계산공간'이란? / 터미네이터와 일기예보 / 한 걸음만 더! / -2와 2의 근본적 차이 / 기하학적인 수와 대수적인 수 / 기하학의 흔적을 지우자! / 도형을 문자로 바꾸는 법 / 수학적 계산공간의 탄생

4. 수학의 마술사, 혹은 마술사의 수학 - 미적분학의 탄생
메피스토펠레스와의 거래 / 세계 최초의 운동화 / 운동화의 물리학 / 캘큘러스 박사의 비밀 / 0에 가깝지만 0은 아닌..... / 캘큘러스 박사의 일기로부터 / 미분법을 뒤집으면 뭐가 나올까? / 새로운 요술: ㅁ으로 ㅇ만들기 / 모든 면적이 같아진다? / 뒷이야기

5. 수학화된 세계의 꿈 - 보편수학
캘큘러스의 시대? / 계산 가능한 세계를 향하여 / 이념 수학 혹은 수학의 이념 / 17~18세기 수학이 네 가지 축 / 17세기 수학의 공간의 배치

6. 근대 수학의 기로 - 위기와 기회
스페이드 나라의 앨리스 / 멀쩡한 사람을 미친 사람 만드는 법 / -2-2-2-2-2-.....=0? / 마녀처럼 보이면 마녀가 아니다? / 온 세상이 다 들어가는 구슬 / 마녀 씨의 인생에 주름이 팬 사연 / 구슬공간의 기하학 / 구슬공간과 유클리드 공간 / 근대 수학의 모험 / 위기와 기회

7. 천국의 열쇠 - 산수와 대수의 힘
스승과 제자 / 칼리가리의 예언 / 존재한다는 것만으로도 충분한 / 수수께끼의 단서들 / 둘째 예언이 수수께끼 / 공회전 / 마술사 칼리하리 / 메피스토 왈츠 / 위기의 해결책들 / 기하학과 불변성 / 모든 점을 첨점으로 바꾸는 방법 / 수학과 도

8. 판도라의 상자 - 집합론의 상상력
19세기의 '수학정신' / 두 가지 기획 / 칸토어 박사, 판도라의 상자를 열다 / 칸토어 박사의 강의 / 수란 무엇이며, 무엇이어야 하는가 / 무한을 세는 방법 / 셀 수 있는 무한, 셀 수 없는 무한 / 대각선을 공략하라! / 길고 짧은 건 재보면 똑같다 / 연속체의 농도 / 우주공간의 모든 점들을 바구니 안에 담는 방법 / 무에서 창조되는 수 / 집합론의 역설

9. 새로운 낙원을 찾아서
천국으로 가는 계단 / 연속성의 심연 / 역설의 시대 / 이발사의 역설 / 돈을 낳은 돈과 돈이 낳은 돈은 같은 돈인가 다른 돈인가 / 수학에서 내용을 제거하면 뭐가 남을까 / 형식체계와 해석 / 수학은 사고법칙 안에 있느니 / 직관주의와 배중률 / 수학은 형식체계니 형식을 통해서 / 수많은 수학들

10. 열린 경계, 혹은 불완전함의 미덕
수학과 원초적 본능 / 현실과 소설의 경계 / 있지만 없다고 생각하는 것 / CAP : computer aided prison / 마지막 관문 엘리베이터 / '이 명제는 증명할 수 없다'를 증명할 수 있다면 / 수학에서 출세하는 방법 / 마법의 수를 갖는 문장 / 타이타닉의 침몰 / 아킬레스의 건 / 열린 경계, 혹은 공리계의 여백

11. 기초 없는 수학을 위하여
'계산'에서 '기초'로 / 두 개의 수학 삼각형 / 19세기 수학적 기획의 선들 / 기초 없는 수학을 위하여

에필로그
추상과 횡단 / 수학의 외부