수학, 철학에 미치다

프롤로그 스스로 생각한 사람들의 이야기 4

Part 1 철학, 수학으로 사유하다 탈레스에서 아르키메데스까지
탈레스, 보이는 대로 생각하지 않은 사람 18
피타고라스, 보이지 않는 것이야말로 참 존재 24
플라톤, 사라질 수 없는 영원한 세계를 발견하다 28
아리스토텔레스, 논리학을 발명하여 하늘과 땅을 연결하다 33
유클리드, 사람은 어떻게 사유해야 하는가 41
아르키메데스, 사유의 힘으로 지구를 들어올리다 48
생각거리 1 탈레스의 닮음의 성질을 이용한 문제 52

Part 2 철학은 곧 관계다 노자와 장자 그리고 음양오행의 사유법
노자, A는 A가 아니다 56
장자, 모든 것은 하나다 60
음양과 오행, 변화의 과학 63
생각거리 2 정답으로 가는 여러 가지 길 74

Part 3 잠자던 수학을 깨우다 불변에서 변화의 수학으로
그리스 수학의 합리주의와 신비주의 78
갈릴레오, 당연한 것에 의문을 던진 위대한 의심가 81
데카르트, 세상을 움직여갈 '나'를 세우다 91
바뉴턴, 모든 것을 수량화하다 100
미분과 적분, '원하는 만큼' 변화를 계산해내다 108
생각거리 3 대통령과 피타고라스 정리 127

Part 4 거인의 어깨 위에 올라선 수학 실체에서 관계의 수학으로
플라톤의 근대적 부활, 기계론의 등장 130
라이프니츠, 충족이유율로 하늘과 땅을 연결한다 133
칸트, '인간'의 얼굴을 한 철학 141
칸토어, 무한을 계산해내다 150
러셀의 패러독스, 집합론을 뒤흔들다 164
브로우베르의 직관주의, 인간의 얼굴을 한 수학 168
두 가지 수학, 플라톤과 칸트의 대립 173
힐베르트, 플라톤과 칸트를 화해시키다 178
괴델의 본의 아닌 '자유' 선언 185
생각거리 4 죄수의 모자 193

에필로그 사유하라, 수학하라 195
잡설雜說 '생각'이 실종되지 않는 사회를 위하여 204
주 225
연표 226

사유의 결론인 지식의 내용도 물론 중요하지만 우리가 진정 배워야 할 것은 이러한 태도, 즉 자세다. 그러니 뻔한 것을 왜 증명하려 하지? 그런다고 결론이 달라지는 것도 아니잖아? 이런 '실용적인' 생각은 금물이다. 이런 과정에서 눈에 보이지 않는 생각이 틀이 새롭게 만들어지고, 새로운 사유방식은 하나의 전통이 되어 계속해서 또다시 새로운 현실을 이끌어냈기 때문이다.

아리스토텔레스의 세 가지 논리법칙은 최종적으로 동일률(A는 A이다)로 결론지어질 수 있다. 더 나아가 동일률은 그 원류를 따지고 들어가면 "존재하는 것은 존재하는 것이고 존재하지 않는 것은 존재하지 않는 것이다. 존재하다가 존재하지 않게 된다든지 존재하지 않다가 존재하든지 수는 없다"는 형이상학을 주장한 파르메니데스에게까지 이어질 수 있다. 이게' 무슨 의미일까?

완벽한 것 같던 유클리드의 기하학 체계에도 이런 구멍이 있다. 다시 한 번 강조하지만 권위에 그냥 굴복하지는 말자. 독일의 수학자 힐베르트는 이 부분을 포함한 유클리드 기하학의 몇 가지 결점을 보완하는 새로운 공준을 만들어 1899년에 《기하학의 기초》라는 책을 썼다. 이제 《원론》에 나와 있는 다른 문제를 보자.