미르카, 수학에 빠지다 3

프롤로그 수학이라는 언어가 이어 준 청춘의 시간
1. 거울의 독백
1. 정직한 사람은 누구?
거울아, 거울아
정직한 사람은 누구?
똑같은 답
침묵이라는 대답
2. 논리 퀴즈
앨리스와 폴리스와 크리스
표로 생각하기
출제자의 의도
3. 모자는 무슨 색인가?
모르겠어요
출제자의 확인
거울의 독백

2. 페아노 산술
1. 테트라
페아노의 공리
무한 반복하는 소원
페아노의 공리 PA1
페아노의 공리 PA2
크게 늘어나다
페아노의 공리 PA3
작다고?
페아노의 공리 PA4
2. 미르카
페아노의 공리 PA5
수학적 귀납법
3. 무수한 걸음 중에
유한인가, 무한인가?
동적인가, 정적인가?
4. 유리
가산이란?
공리란?

3. 갈릴레오의 망설임
1. 집합
미인의 집합
외연적 정의
식탁
공집합
집합 속의 집합
공통부분
합집합
포함 관계
집합이 중요한 이유
2. 논리
내포적 정의
러셀의 패러독스
집합 연산과 논리 연산
3. 무한
전단사의 새장
갈릴레오의 망설임
4. 표현
귀갓길
서점
5. 침묵
미인의 집합

4. 한없이 가까워지는 목표 지점
1. 집
유리
남자애의 증명
유리의 증명
유리의 의혹
나의 설명
2. 슈퍼마켓
목표 지점
3. 음악실
문자로 나타내기
극한
음악은 음(音)으로 결정된다
극한의 계산
4. 귀갓길
진로

5. 라이프니츠의 꿈
1. 유리는 테트라가 아니다
‘이라면’의 의미
라이프니츠의 꿈
이성의 한계?
2. 테트라가 유리는 아니다
입시 공부
수업
3. 미르카라면 미르카다
교실
형식적 체계
논리식
‘이라면’의 형태
공리
증명
추론 규칙
증명과 정리
4. 내가 아니다, 혹은 나다
집
형태의 형태
의미의 의미
‘이라면’이라면?
권유

6. 입실론-델타
1. 수열의 극한
도서실에서
계단 교실
복잡한 식을 이해하는 방법
절댓값을 이해하다
‘이라면’을 이해하다
‘모든’과 ‘어떤’을 이해하다
2. 함수의 극한
ε-δ
ε-δ의 의미
3. 실력 테스트
랭크 인
정숙의 소리, 침묵의 소리
4. 연속의 정의
도서실
모든 점에서의 불연속
한 점에서 연속인 함수?
무한의 미궁에서 탈출하다
한 점에서 연속인 함수!
해야 할 말

7. 대각선 논법
1. 수열의 수열
가산집합
대각선 논법
도전: 실수에 번호 붙이기
도전: 유리수와 대각선 논법
2. 형식적 체계의 형식적 체계
무모순성과 완전성
괴델의 불완전성 정리
산술
형식적 체계의 형식적 체계
용어의 정리
수항
대각화
수학의 정리
3. 찾는 물건의 찾는 물건
유원지

8. 두 개의 고독이 만나면
1. 겹치는 짝
테트라가 깨달은 것
내가 깨달은 것
누구도 깨닫지 못한 것
2. 집
나의 수학
표현의 압축
덧셈의 정의
교사의 존재
3. 동치 관계
졸업식
짝으로 인해 생겨나는 것
자연수에서 정수로
그래프
동치 관계
몫집합
4. 레스토랑
엄마와의 외식
양 날개로 날아가렴
무력 테스트

9. 망설임의 나선계단
1. 0/3ℼ라디안
불쾌한 유리
삼각함수
sin 45°
sin 60°
사인 곡선
2. 2/3ℼ라디안
라디안
가르친다는 것
3. 4/3ℼ라디안
휴강
잉여
등대
해안가
소독

10. 괴델의 불완전성 정리
1. 나라비쿠라 도서관
입구
염소
2. 힐베르트 계획
힐베르트
퀴즈
3. 괴델의 불완전성 정리
괴델
토론
증명의 큰 틀
4. 봄: 형식적 체계 P
기본 기호
수항과 기호
논리식
공리
추론 규칙
5. 점심시간
메타 수학
수학을 수학하다
깨달음
6. 여름: 괴델수
기본 기호의 괴델수
행렬의 괴델수
7. 가을: 원시 재귀성
원시 재귀적 관계
원시 재귀적 관계(술어)의 성질
표현 정리
8. 겨울: 증명 가능성에 이르는 긴 여행
장비를 정비하다
정수론
행렬
변수・기호・논리식
공리・정리・형식적 증명
9. 새봄: 결정 불가능한 문장
계절의 확인
씨앗: 의미의 세계에서 형식의 세계로
새싹: p의 정의
가지: r의 정의
잎: A1으로부터의 흐름
봉오리: B1으로부터의 흐름
결정 불가능한 문장의 정의
매실: ￢ IsProvable(g)의 증명
복숭아: ￢ IsProvable(not (g))의 증명
벚꽃: 형식적 체계 P가 불완전하다는 것의 증명
10. 불완전성 정리의 의미
나는 증명할 수 없다
제2의 불완전성 정리 증명의 요점
불완전성 정리가 생성하는 것
수학의 한계?
11. 꿈을 실어 보내며
끝이 아니야
나만의 것

에필로그 세상의 비밀을 감추고 있는 수학이라는 마법
맺음말
감수의 글