수학으로 생각한다

감수 추천의 글: 초등수학의 단순한 아이디어로 연주하는 한 편의 웅장한 교향곡
여는 글: 수학으로 생각한다

서론: 수학에 대한 고정관념 깨기: 발상의 전환
수학에 대한 고정관념
산술적 사고 vs. 대수적 사고
기계적으로 계산하지 말고 머리를 유연하게
초등수학의 산술적 사고와 과학자의 직관
일상적 경험에서 우주의 법칙까지
발상의 전환: 픽션 감각을 키워라
위대한 생각의 원동력, 픽션 감각: 뉴턴과 하이젠베르크
수학으로 생각하면 세상을 보는 시야가 넓어진다

제1장 유연한 사고로 세상을 읽는다: 상대성 이론에서 빅뱅론까지
형과 동생은 언제, 어디서 만날까?
자신이 멈추어 있다고 가정하면…
기계적인 계산에서 벗어나 상상력을 발휘해보자
수식의 조작은 ‘유연한 두뇌’를 불필요하게 만든다
코사크 기병의 산양 사냥
산술적 사고에서 물리학으로
물리학자 도플러의 발견
사이렌 소리가 다르게 들리는 이유
도플러 효과와 상대속도
빛의 도플러 효과와 우주의 팽창
달리는 지하철에서 편히 앉아 있을 수 있는 이유
상대성 원리로 해석하는 운동량 보존의 법칙
인생에서 느끼는 상대성
허블의 법칙과 상대성 원리
닮은꼴로 푸는 우주의 수수께끼

제2장 수학으로 생각하는 경제현상: 파생금융상품과 외부불경제
수학 천재 가우스의 계산법
수열을 거꾸로 더하는 테크닉
210과 서로소인 자연수의 합은?
파생금융상품에 활용되는 ‘가우스 덧셈’
자유로운 경쟁이 최적의 경제적 효율성을 만든다
시장에서 거래가 이루어지는 과정
시장 거래와 에지워스 상자
가격 조정으로 최적성이 실현된다: 발라의 정리와 증명
외부불경제를 제안한 피구의 반례
시장에 포함되지 않는 경제현상: 외부불경제
그래프로 이해하는 ‘사회의 이익’
그래프를 뒤집어라: 그림으로 이해하는 외부불경제
세금제도는 공해를 해결할 수 있을까?

제3장 닮은꼴에서 상상하는 프랙탈: 무한을 이미지화 한다
‘닮음’으로 세상을 바라보다
닮음과 넓이의 관계
‘닮음과 넓이의 법칙’을 증명하다
증기기관을 발명한 와트의 에피소드
닮음으로 피타고라스의 정리를 증명하다
자기 유사성을 지닌 현상, 프랙탈
코흐 곡선 문제
시어핀스키 카펫
수학자 만델브로트의 발견
브라운 운동과 프랙탈
퍼콜레이션(침투현상)과 임계현상: 거듭제곱의 법칙
프랙탈 도형은 실제로 존재할까?
코흐 곡선의 길이는 무한, 시어핀스키 카펫의 넓이는 0
‘차원’을 통해 프랙탈의 이미지를 파악하다
프랙탈은 몇 차원?
프랙탈의 차원을 구하는 방법
리아스식 해안 그리고 가옥에 나타난 프랙탈
프랙탈로 파헤친 경제사회의 비밀

제4장 단순한 수학 아이디어로 파헤치는 경제의 비밀
시간당 우리가 하는 일은 얼마나 될까?
상상력으로 복잡한 문제를 단순화하라
소는 언제 초원의 풀을 다 뜯어먹을까?: 뉴턴의 문제
GDP와 투입 산출의 메커니즘
쉽게 이해하는 경제성장의 구조
투자는 사회공헌인가?
제로 상태: 정상상태
축적과 누출이 있는 모델
경제는 정상상태를 지향한다
경제학자 로버트 솔로의 경제성장 모델
국민 한 사람이 한 일을 얼마나 될까
정상상태에서도 경제는 성장한다
경제성장과 저축률의 관계
저출산은 경제에 악영향을 미칠까
번영한 국가는 반드시 쇠퇴한다?
경기침체를 해석하는 방법
노동 효율을 고려한 경제성장 모델
경제성장이론에 대한 기대

제5장 순열과 조합으로 분석하는 물리현상과 사회현상: 엔트로피와 양극화 사회
카디널리티(Cardinality)의 아이디어
대상을 암호화한다
수형도의 테크닉
순열과 조합의 기법
‘동질성’과 ‘이질성’의 관점으로 보는 세계
거스를 수 없는 자연현상
기체분자를 수형도로 표현해보자
방이 진공상태가 될 수 없는 이유
복잡해지려는 힘
열 현상과 엔트로피를 돈에 비유해 보자
양극화 사회와 엔트로피
양극화의 원인: ‘정보와 네트워크’
자기 조직화와 엔트로피의 감소

제6장 집합으로 이해하는 사회의 역학관계
집합과 벤다이어그램
집합이 3개일 때 포함배제의 원리
포함배제의 원리를 응용해보자
약수 배수에 관한 재미있는 법칙
수학자 뫼비우스의 발견
오일러 함수를 규명하다
포함배제의 원리와 뫼비우스의 반전공식은 비슷한 원리
주종관계가 있으면 뫼비우스 반전공식이 성립한다
합승한 택시 요금 나누기: 협력게임
세 사람이 합승한 경우
뫼비우스의 반전공식이 나타난다!
합리적인 샤플리 값
카디널리티(Cardinality)의 관점에서 본 샤플리 값
의회에서 차지하는 정당의 힘

맺음말: 산술적 사고와의 재회
참고문헌

'플라톤은 물질의 최소 단위를 네 개의 정다면체라고 생각했다. 그런데 플라톤처럼 대단한 사람이 어째서 물질을 정사면체, 혹은 정팔면체라고 생각했을까?' 물리학자가 된 하이젠베르크는 이렇게 어린 시절에 가졌던 '초등수학'에서 비롯된 의문을 떠올렸고 그것을 중요한 착상으로 발전시켰다.

하이젠베르크는 생각했다. '플라톤이 말하고 싶었던 것은 형태 자체가 아닐 것이다. 플라톤은 물질은 미시적 세계에서 질감이 있다기보다 수학적 대상이 된다는 말을 하고 싶었던 게 아닐까?' 이때 하이젠베르크를 지배한 것은 일종의 픽션이었고 그것은 그에게 자연의 진리를 알려주었다.

즉, 운동하는 소립자는 이미 우리가 일상적으로 상상하는 물질과 다른 존재로, '확률적 파동이라는 수학적 대상'이 된다는 뜻밖의 진리였다. 하이젠베르크는 이렇게 초등수학에서 배우는 정사면체나 정팔면체 등의 플라톤 입체에서 출발해 현대 물리학 최고의 성과를 이뤄냈다. (29쪽, '수학에 대한 고정관념 깨기:발상의 전환' 중에서)

여는 글에서도 말했지만 1장에서는 '속력 · 거리 · 시간에 관한 문제'를 생각해보자.