수학력

[프롤로그] 잠자고 있는 수학 본능을 깨워라!

Lesson 01. 수학력이란 무엇인가?
1. 당신이 지금까지 공부했던 것은 수학이 아니라 산수다!
- 셈을 잘 못하는 천재 수학자?
- 수학은 ‘속도’를 경쟁하는 학문이 아니다!
- 수학력을 가로막는 장애물, ‘지레짐작’
- 용기 있는 생각과 태산을 옮기는 집념이 수학력
- 수학은 세상을 설명하는 언어
2. 누구나 가지고 있는 수학력
- ‘산수’는 좋아했는데 ‘수학’은 넌더리나는 이유
- 수학공포증에 시달리는 아이들과 씨름하며 깨달은 것들
- 수학력을 깨달으면 번뜩임이 필연이 된다!
3. 수학력을 기르려면 절대로 외우지 마라!
- 수학은 공식을 외우려고 하면 할수록 더 어려워진다
- 수학을 잘하는 데 필요한 단 하나, ‘왜?’라고 질문하기
4. 분수의 나눗셈은 왜 뒤집는지 설명할 수 있는가?
- Step 1. 분수란 무엇일까?
- Step 2. 분수의 곱셈
- Step 3. 분수로 나눈다는 것은 무슨 의미일까?
- 수학을 왜 배워야 할까?
[수학을 찬미한 사람들] 이시도루스

Lesson 02. 수학은 국어 시간에 공부해야 한다!
1. 게이오대학교 응시자가 풀어야 할 수수께끼
- 거짓말쟁이 찾아내기
- 추리는 곧 수학 문제다!
2. 국어 문제를 수학자가 푼다면
- 국어 시간에 수학 공부하기
- 수학자의 해법 1. 변주를 찾아내라!
- 수학자의 해법 2. 전제에 주목하라!
- 수학자의 해법 3. 수학에서 아름다움을 발견하라!
- 수학자의 해법 4. 추상화를 통해 본질에 접근하라!
- 수학자의 해법 5. 잔가지를 쳐내고 줄기를 드러내라!
3. 성공 확률을 높이는 무의식과 의식의 차이
- 운 좋게 맞춘 것도 결국은 실력이다!
- 수학력을 의식하면 정답에 이르는 길이 빠르고 정확해진다
[수학을 찬미한 사람들] 갈릴레오 갈릴레이

Lesson 03. 수학적 발상법 1 _ 정리한다
1. 수학적 정리는 뺄셈이 아니라 덧셈
- 정리를 통해 정보의 양 늘리기
- 모두에게 칭찬받는 와인 고르는 법
- 겹치지 않고 빠지는 것도 없이 분류하라!.
2. “혈액형이 뭐예요?”라는 질문에 담긴 수학적 분류 욕구
- 혈액형 점은 왜 인기 있을까?
- 초등학생도 다 아는 수학적 분류 방법
3. 수학적 분류가 과학사에 남긴 발자취
- 혼돈을 종식한 멘델레예프의 주기율
- 원소 주기성의 비밀을 푼 비운의 젊은 과학자
4. 새로운 세계를 여는 곱셈
- 덧셈과 곱셈의 정보량 차이
- 서로 다른 것들의 만남으로 확장되는 세계
- 차원이 늘어나면 세계가 넓어진다!
- 곱셈식 정리의 다른 말은 ‘융합’
5. 정보가 넘쳐날 때는 선각자의 체크 리스트를 빌려라
- 지름길을 알려주는 체크 리스트 찾기
- 업무를 돕는 체크 리스트

Lesson 04. 수학적 발상법 2 _ 순서를 지킨다
1. 만족스러운 점심 메뉴를 선택하는 데 필요한 수학
- 새치기하지 않는 아이는 논리적이다?.
- 선택할 때는 큰 것에서 작은 것 순이라야 실패하지 않는다.
2. 매일 아침 옷장 문을 여는 순간 시작되는 필요충분조건과의 밀당
- 느슨한 필요조건과 엄격한 충분조건
- 필요조건에 따라 범위를 좁히고, 충분조건에 따라 선택!
3. 6개월 동안 썩지 않는 맥도널드 햄버거의 반전
- 옳고 그름을 분별하는 ‘증명’
- 썩지 않는다 = 방부제가 들어갔다?
- 논리에서 ‘소⇒대’는 항상 참, ‘대⇒소’는 항상 거짓
- ‘간절히 바라면 꿈은 이루어진다’는 참일까 거짓일까?
4. 바람이 불면 뒤주 장수가 돈을 번다?
- 바람이 분다, 뒤주를 만들어라!
- 수상한 증명
[수학을 찬미한 사람들] 르네 데카르트

Lesson 05. 수학적 발상법 3 _ 변환한다
1. “사랑해”라는 말없이도 가슴 설레는 연애편지 쓰기
- 노골적이지 않게 마음을 전하는 기술, 변환
- 변환으로 은근하게, 달콤하게
2. 천하무적의 논리, 동치
- 승패를 정확하게 예측하는 야구 해설자?
- 바꿔말해도 참이라면 동치
- 논리를 단단하게 만드는 말 바꾸기
- 몽상가에게 필요한 동치 변형
3. 원인을 결과로 변환하는 상자, 함수
- 원인 규명과 결과 예측을 위한 강력한 무기, 함수
- 상자가 숫자를 먹고 뱉어내는 룰
- 왜 함수의 답은 하나여야 하는가?
4. 넘쳐나는 가짜 논리 속에서 진짜 논리 찾기
- 함수를 일상생활에 적용하기
- 원인은 이야기의 출발점
- 그녀가 우는 것은 그가 기념일을 잊었기 때문이다?
- 일이 잘 풀리지 않은 것은 외출할 때 오른발부터 집을 나섰기 때문이다?
- 함수로 설명할 수 없는 관계에 대한 대처법
[수학을 찬미한 사람들] 게오르크 칸토어

Lesson 06. 수학적 발상법 4 _ 추상화한다
1. 본질을 끄집어내는 추상화
- 수학 교과서 차례에 숨은 뜻
- 공통되는 성질을 추출한다
- 수학자의 영혼을 갉아먹는 악마 같은 문제
2. 일상생활 속의 추상화
- 내가 그의 이름을 불러주면 추상화가 시작된다
- “척 보면 압니다”, 추상화 트레이닝
3. 수학을 만나면 인생도 세상도 심플!
- 행운을 측정하는 공식
- 합격 가능성을 예측하는 공식
4. 최소의 자원으로 최적의 결과를 얻는 그래프 이론
- 러시아 작은 도시에 일어난 다리 밟기 붐
- 눈먼 오일러, 전설의 난제를 해결하다!
5. 모두가 만족하는 회의 시간표 짜기
- 어이 김대리! 회의 시간표 좀 짜보게
- 김대리, 그래프 이론으로 회의 시간표를 짜다!

Lesson 07. 수학적 발상법 5 _ 구체화한다
1. 구체화의 지원 아래 설명의 달인이 되다
- 듣는 사람이 연상할 수 있는 폭 넓혀주기
- 구체적인 예를 제시한다
- 내 수업의 목표는 등차수열이 만만해지는 것
2. 명언에서 배우는 수학
- 구체적인 예의 진화, 비유
- 명언에서 배우는 훌륭한 비유
- 훌륭한 비유 찾기
3. 논리를 단단하게 만드는 구체와 추상의 왈츠
- 너무 구체적이거나 혹은 너무 추상적이거나
- 어려운 개념을 명징하게 만드는
구체와 추상의 핑퐁 게임
4. 세상의 진리를 꿰뚫는 두 철학자의 선물
- 소크라테스와 아리스토텔레스에게 배우는
설득의 논리학
- 소크라테스도 아리스토텔레스도 막지 못한
연역법과 귀납법의 구멍
5. 설득의 힘을 증폭시키는 논리 전개법
- 연역법과 귀납법, 어떤 도구를 쓸 것인가
- 사고 프로세스의 주도권 잡기
[수학을 찬미한 사람들] 리처드 파인먼

Lesson 08. 수학적 발상법 6 _ 반대 시점을 가진다
1. 산이 높으면 돌아서 가라
- 초등학교 산수 시간에 배운 ‘역(逆)의 시점’
- 바로 갈 수 없으면 돌아서 가라
- 분노를 진정시키는 ABC 이론
- 수학적 사고를 받아들이면 화낼 일이 없어진다!
2. 부정으로부터 모순을 끌어내는 역·이·대우
- 생각을 180도 바꿔 참과 거짓 찾기
- 수학적 반대 시점, 대우
- 대우는 긴가민가한 문제의 해결사
3. 수학의 최고 난제, 존재하지 않는 것을 증명하라!
- 무죄를 입증하라!
- 아르키메데스의 왕관
- 귀류법의 모순

Lesson 09. 수학적 발상법 7 _ 미적 감각을 기른다
1. 수학하는 지휘자, 지휘하는 수학자
- 음악과 수학은 닮았다!
- 클래식 음악은 무엇일까?
2. 음악처럼 아름다운 수학
- 음악에 담긴 논리, 화음
- 마음을 울리는 음악의 비밀
- 음악을 사랑한 수학자, 수학을 사랑한 음악가
3. 아름다움을 느낄 줄 아는 가슴은 수학력의 기본
- 논리의 아름다움에 매료되다
- 아름다움의 첫 번째 필요충분조건, 대칭성
- 대칭성을 수학에서 활용하기
4. 통일성을 지향한다
- 인류가 발견한 가장 아름다운 수식
- 진리는 아름답다!

[에필로그] 수학(數學)을 수학(修學)하는 즐거움

기본적으로 곱셈식은 다른 성질의 것을 이용한 계산입니다. 곱셈식의 결과 면적이나 움직인 거리 등 새로운 성질의 어떤 것이 생겨납니다. 반면에 덧셈은 개수와 개수, 길이와 길이 등 원칙적으로 성질이 같은 것을 사용하는 계산이므로 그 답 역시 같은 성질의 것입니다. 덧셈의 결과에서 새로운 세계가 보이는 것은 극히 드문 일입니다.
(중략) 여기에 3cm와 4cm의 막대 두 개가 아무렇게나 놓여 있다고 가정해 봅시다. 이것을 단순히 ‘정리’하려 한다면 일직선으로 배치하는 정리 방법이 있겠지만, 그렇게 하면 7cm의 막대가 될 뿐입니다. 당연한 일이지요.
반면 하나를 가로로, 다른 하나를 세로로 놓는 ‘정리’를 하면 어떨까요? 이렇게 하면 면적이 12cm2인 직사각형이 보이게 되고, 두 개의 ‘길이’에서 ‘면적’이라는 새로운 세계가 보이게 됩니다. 이것이 곱셈식 정리의 좋은 점입니다.
다른 방법을 예로 들어 이해를 돕겠습니다. 수직선을 생각해 봅시다. 수직선 상의 점은 3이나 10처럼 그 값을 하나로 정하면 위치가 하나로 정해집니다. 이번에는 x축을 가로축으로, y축을 세로축으로 한 좌표를 생각해보세요. 좌표축 위의 점은 x와 y, 두 개의 값을 정해야 합니다. 즉 수직선 상의 점은 하나의 자유를, 좌표축 상의 점은 두 개의 자유를 가지는 것이죠. 이러한 자유도를 수학에서는 차원이라고 말합니다. 차원이 늘어나면 세계는 비약적으로 넓어집니다.
점프하지 못하는 개미는 2차원 세계에 살고 있지만, 개구리는 높이 점프할 수 있으므로 3차원 세계에 살고 있습니다. 개미와 개구리가 정면으로 마주했을 때, 다음 순간 개구리가 개미의 등 위로 뛰어오르면 개미는 아마도 ‘개구리가 순간이동 했다’고 놀랄 것입니다. 차원이 늘어난다는 것은 상상을 초월할 정도의 새로운 세계가 펼쳐진다는 것을 의미합니다.
만약 여러분에게 주어진 정보가 부족한 것 같다면 그 적은 정보를 곱셈식과 같이 정리함으로써 차원(자유도)을 늘릴 수 있는지를 생각해 보기 바랍니다. 분명 새로운 세계가 보일 것입니다. _ 새로운 세계를 여는 곱셈(112쪽)

예전에 한 친구가 “수학을 너무 싫어했었는데, 졸업할 때 수학 선생님이 해 주신 말씀은 아직도 기억하고 있어”라면서 너무나 멋진 이야기를 들려주었습니다. 그 친구의 선생님은 고등학교 마지막 수업에서 이렇게 말씀하셨다고 합니다.
“수학에서 증명하는 것이 가장 어려운 게 뭐라고 생각하니? 수학에서 제일 증명하기 어려운 것은 바로 불가능하다는 것을 증명하는 일이란다. 일반적으로 가능한 것을 증명하는 것이 불가능한 것을 증명하는 것보다 훨씬 간단하지. 오늘로써 수학 수업은 마지막이지만 꼭 잊지 않기를 바란다. 너희가 앞으로 어떤 것을 하려고 하든 그것이 너희에게 불가능하다고 증명하는 것은 굉장히 어렵다는 것을 말이야.”
멋진 선생님이죠. 정말 그 말씀 그대로라고 생각합니다. 저도 앞서 ‘있을 수 없다’와 ‘존재하지 않는다’는 것을 증명하기는 매우 어렵다고 말했습니다. 과거에 한 번도 성공한 적이 없다고 해서 앞으로도 영원히 성공하지 못한다고 단언할 수 없으며, 지금까지 발견되지 않았다고 해서 앞으로도 발견되지 않는다는 증거가 되지 않습니다. 그래서 수학에는 ‘가능성이 없는 것’과 ‘존재하지 않는 것’을 제시하기 위한 강력한 무기로써 ‘귀류법’(歸謬法)이라는 증명 방법이 있습니다. 귀류법은 증명하고자 하는 사항의 부정을 가정하여 모순을 이끌어 내는 증명의 방법입니다. 귀류법이라는 말에는 왠지 어렵다는 이미지가 있지만, 기본은 전혀 어렵지 않습니다. 범죄 드라마 등에서 경찰이 알리바이가 있는 사람을 용의 선상에서 제외하는 것도 바로 귀류법을 이용하는 것입니다. _ 수학의 최고 난제, 존재하지 않는 것을 증명하라!(256쪽)