숫자 없는 수학책

<위상수학>
도형 | 다양체 | 차원

<해석학>
무한 | 연속체 | 지도

<대수학>
추상화 | 구조 | 추론

<수학 기초론>
대화

<모형화>
모형 | 오토마타 | 과학

도형이 너무 많아 일일이 추적할 수 없다 보니 위상수학자들은 주요 도형에만 집중한다. 바로 ‘다양체’다. 복잡하게 들리겠지만 실제로는 그렇지 않다. 사실 당신도 다양체에 살고 있다. 원, 직선, 평면, 구 등이 속한 다양체는 수학이나 과학에서 물리적 공간을 다룰 때 항상 주도적인 역할을 하는 것처럼 보이는 매끄럽고 단순하며 균일한 도형이다.
다양체가 워낙 단순하므로 지금쯤이면 수학자들이 다 찾아냈으리라 생각할지도 모르겠다. 하지만 아니다. 우리는 찾지 못했다. 위상수학자들도 이 사실에 매우 당혹스러워하고 있다. ▶ 다양체

사실 위상수학적 다양체를 알면 꽤 많은 맥락에서 유용하다. 그렇다, 심지어 훨씬 높은 차원에 있는 다양체들도! 이것 때문에 위상수학이 발전하고 오늘날에도 사람들이 위상수학을 연구하는 건 아니지만, 위상수학의 언어와 도구 모음은 현실 세계의 면모를 분석할 때 꽤 자주 쓸모가 있다.
쓸모 있는 이유가 뭐냐고? 인간은 시각적인 사고를 하는 편이라 추상적인 생각을 시각적인 비유로 이해한다. 우리의 일상 언어에 시각적인 비유가 가득 차 있어 그런 비유를 쓰는지조차 알아차리지 못할 뿐이다. 당신은 계획을 ‘밀고 나아가고’, 임대료가 ‘오르고’, 끝없는 논쟁이 ‘원을 그리듯 맴돈다’고 말한다. 이러한 비유로 실생활의 문제를 위상수학 문제로 바꾸고 있다. ▶ 차원

자, 보통 셀 수 있는 평범한 상황에서는 ‘더 크다’를 어떻게 헤아릴까? 오른쪽 더미가 왼쪽 더미보다 크다는 건 무슨 뜻일까?
그렇다. 그림을 보면 완전 뻔하다. 하지만 미지의 행성에서 온 외계인을 만난다고 상상해보라. 그 외계인은 “더 크다”, “더 많다”, “훨씬 크다” 같은 말을 들어본 적이 없다. 그렇다면 오른쪽 더미가 더 크다는 걸 어떻게 설명할 수 있을까? 진짜로 한번 설명하려고 해보라. 알다시피 너무 기본적인 개념이라 처음부터 차근차근 설명하기가 사실 어렵다.
문제를 어떻게 풀어야 할지 막막할 때, 수학에서 흔히 쓰는 요령은 정반대의 질문을 던져 그 질문이 이끄는 대로 따라가는 것이다. 아래의 두 더미가 같은 크기라는 걸 외계인에게 어떻게 설명할까?
‘같다’라는 단어에 섣불리 의지하면 안 된다. 그게 바로 우리가 정의하려는 뜻이니까. 외계인은 무언가가 ‘같다’ 또는 ‘똑같다’고 할 때 그게 무슨 뜻인지, 왜 그런지 알고 싶어 한다.
외계인에게 ‘같다’라는 의미를 전달하려면 이렇게 해야 한다. 우선 더미를 일렬로 세우고 1대1로 짝을 이룰 수 있다는 걸 보여준다. 각 더미에 남는 게 없이 완벽하게 짝지을 수 있으므로 두 더미의 크기는 같다. ▶ 무한