하루 한 권, 미적분

들어가며

제1장 미분이란?
1 - 1 2차원 좌표란?
1 - 2 그래프란?
1 - 3 함수란? ①
1 - 4 함수란? ②
1 - 5 수의 집합을 가시화
1 - 6 함수 ‘y = x’란?
1 - 7 함수 ‘y = x²’이란?
1 - 8 함수의 정의역과 치역
1 - 9 상수함수와 삼차함수
1 - 10 ‘직선의 기울기’란?
1 - 11 ‘기울기’가 ‘속도’가 되는 이유
1 - 12 곡선의 기울기란? ①
1 - 13 곡선의 기울기란? ②
1 - 14 ‘접선’이란?
1 - 15 ‘곡선의 기울기’는 ‘접선의 기울기’
1 - 16 ‘곡선의 기울기’를 구하는 방법
1 - 17 ‘한없이 작다’는 개념, 무한소
1 - 18 ‘극한 계산’이란?
1 - 19 극한 계산의 기호 ‘lim’란?
1 - 20 일차함수의 기울기 구하기
1 - 21 이차함수 ‘y＝x2’의 기울기 구하기
1 - 22 미분이란 곡선의 기울기를 구하는 것
Column1 야심가였던 라플라스

제2장 미분을 해보자
2 - 1 사물의 변화를 분석할 수 있는 미분
2 - 2 미분계수를 다시 알아보기
2 - 3 미분계수가 0이 되는 점을 찾기
2 - 4 ‘자유 낙하’를 수학적으로 생각해 보기
2 - 5 시시각각 변하는 사과의 낙하 속도
2 - 6 ‘속도’와 ‘시간’의 관계
2 - 7 시간과 속도의 함수의 미분계수는 ‘가속도’
2 - 8 ‘위치의 변화’와 ‘속도’, ‘가속도’의 관계
2 - 9 곡선을 직선이라고 가정
2 - 10 우선 대략적으로 생각해 보기
2 - 11 이등분했던 그래프를 사등분 해보기
2 - 12 점점 잘게 쪼갰을 때의 그래프 형태
2 - 13 꺾은선의 수를 한없이 늘려 보기
2 - 14 x방향의 증분 ‘dx’, y방향의 증분 ‘dy’
2 - 15 도함수란?
2 - 16 미분을 사용한 문제 분석
2 - 17 함수는 실제로 그래프를 그려 분석
2 - 18 도함수가 0이 되는 점을 찾기
2 - 19 극대점·극소점과 최대점·최소점
2 - 20 100m짜리 로프로 만들 수 있는 가장 큰 화단
2 - 21 현실 세계의 문제를 수학문제로 나타내기
2 - 22 세로 길이를 일단 x로 놓고 보기
2 - 23 미분의 공식 （xn）′＝nxn－1
2 - 24 ‘다항식’을 미분하는 방법
2 - 25 x로 미분해 면적의 변화를 분석하기
2 - 26 도함수가 0이 되는 점을 계산하기
2 - 27 증감표 만들기
2 - 28 그래프를 그려 최댓값 구하기
2 - 29 구한 결과의 고찰도 중요
2 - 30 미분 계산의 흐름을 한 번에 살펴보기
Column2 ‘미적분 교과서’의 기초를 다진 코시

제3장 적분이란?
3 - 1 나일강의 범람이 낳은 적분
3 - 2 실진법 ①
3 - 3 실진법 ②
3 - 4 실진법 ③
3 - 5 칸을 한없이 잘게 쪼개기
3 - 6 ‘정사각형’을 쪼개기
3 - 7 정사각형을 ‘선의 모임’이라고 생각하기
3 - 8 한없이 나눈 것을 모으기
3 - 9 적분 기호 ‘(인티그럴)’의 의미
3 - 10 적분으로 직사각형의 일부 면적을 구하기
3 - 11 미분과 적분의 관계
3 - 12 함수를 적분하기 ①
3 - 13 함수를 적분하기 ②
3 - 14 ‘적분 결과가 가지는 의미’를 고찰하기
3 - 15 평행사변형의 면적을 적분으로 구하기
Column3 ‘리만 적분’의 창시자 리만

제4장 적분을 계산해 보자
4 - 1 복잡한 함수의 적분의 어려움
4 - 2 ‘원시함수’란?
4 - 3 Xⁿ의 원시 함수는 1/n+1xn+1
4 - 4 적분이란 원시함수를 구하는 것
4 - 5 정적분이란?
4 - 6 상수함수를 정적분 해보기
4 - 7 일차함수 y = x를 정적분
4 - 8 원시함수를 구하는 공식은 1/n+1xn+1
4 - 9 ‘부정적분’이란?
4 - 10 적분상수 ‘C’란?
4 - 11 미분하면 잃게 되는 정보 한 가지
4 - 12 정적분에서 적분상수 ‘C’가 필요없는 이유
4 - 13 적분 계산을 총정리
4 - 14 적분으로 그릇의 부피를 계산해 보기
4 - 15 함수로 그릇의 형태를 나타내기
4 - 16 적분으로 그릇의 부피를 구하기
4 - 17 적분의 수식을 세워 보기
4 - 18 적분 계산도 하나씩 가능
4 - 19 그릇의 부피를 계산해 구하기
Column4 측도론을 구축한 ‘르베그 적분’의 르베그

마치며
주요 참고 도서

그래프 다음에 등장하는 것은 함수이다. 함수라는 말을 들으면 어렵게 느껴질 수도 있겠지만 함수와 미적분은 떼려야 뗄 수 없는 관계에 있다. 그래프를 제대로 분석하려면 함수가 반드시 필요하다. 함수란 수와 수 사이의 관계를 나타내는 것이다. 함수를 이해하기 위해서는 먼저 집합을 이해해야 한다.

여기서 잠시 미적분의 역사를 간단히 살펴보자. 사실 무한소에 대한 개념이 정립될 때까지는 상당히 오랜 시간이 걸렸다. ‘미적분의 핵심’이라고 할 수 있는 부분의 완성이 늦어졌기 때문에 미적분 자체를 학문으로 인정하지 않은 학자도 있을 정도였다.

lim를 사용한 실제 계산의 예는 나중에 함수 그래프의 기울기를 구체적으로 계산할 때 소개할 텐데 언뜻 어려워 보이는 계산이더라도 자세히 보면 간단한 계산인 경우가 많다. 어려워 보인다고 처음부터 겁낼 필요는 없다.