일상의 무기가 되는 수학 초능력 : 수학의 정리 편

들어가며

제1장 정리와 추측의 기본을 알자
수학의 정리란 무엇일까? | 피타고라스의 정리 VS 페르마의 마지막 정리 | 정리의 끝판왕, 피타고라스의 정리 | 일상의 무기가 되는 수학의 정리
column 1 숫자가 2배씩 증가하면 무서워진다
재미있는 수학자 이야기 ① 유클리드

제2장 대표적인 수학의 정리를 알아보자
삼각함수, 어렵지 않아요 | 사인법칙이란 무엇이며 어떻게 활용할까? | 두 지점 간의 거리를 측정할 때, 코사인법칙 | 기하학의 기초를 세운 탈레스가 증명한 탈레스의 정리
column 2 정리의 기초가 된 피타고라스의 정리
재미있는 수학자 이야기 ② 카를 프리드리히 가우스

제3장 일상생활에서 만나는 다양한 수학의 정리
알아두면 실용적인 4색정리 | 정다면체로 4색정리를 생각해보자 | 축구공은 구가 아닌 다면체였다? | 정다면체 성질과 오일러의 다면체 정리 | 벌집이 육각형인 데는 이유가 있다 | 스카이트리에서는 어디까지 볼 수 있을까?
column 3 아름다운 수학의 여왕, 정수
재미있는 수학자 이야기 ③ 플라톤

제4장 학교에서 배운 수학의 정리
피타고라스의 정리 | 체바의 정리 | 메넬라우스의 정리 | 톨레미의 정리 | 히포크라테스의 정리 | 접선과 현이 이루는 각 | 방멱의 정리 | 중점연결정리 | 삼각형의 중심정리 응용 | 심슨의 정리
column 4 부호는 언제 탄생했을까?
재미있는 수학자 이야기 ④ 레온하르트 오일러

제5장 알아두면 쓸모 있는 수학의 정리
이항정리의 기본을 이해하자 | 토끼 문제와 피보나치수열 | 황금비율은 무엇을 의미할까? |나머지정리와 인수정리 | 소수의 법칙과 디리클레의 소수정리 | 삼각형의 오심을 이해하자 | 미적분학의 기본정리 | 아르키메데스는 실진법으로 원주율을 계산했다 | 픽의 정리의 기본을 이해하자 | 아벨의 정리의 기본을 이해하자 | 카발리에리의 원리란 무엇일까? | 뫼비우스의 띠는 어떤 띠일까?
column 5 델로스의 문제란 무엇일까?
재미있는 수학자 이야기 ⑤ 레오나르도 피보나치

제6장 수학의 정리를 활용해 문제를 풀어보자
피타고라스의 정리로 문제를 풀어보자 ① | 피타고라스의 정리로 문제를 풀어보자 ② | 다면체 정리로 문제를 풀어보자 | 원주각의 정리로 문제를 풀어보자 | 독립시행의 정리로 확률 문제를 풀어보자 ① | 독립시행의 정리로 확률 문제를 풀어보자 ②
column 6 불가사의한 세헤라자데의 수
재미있는 수학자 이야기 ⑥ 아르키메데스

제7장 수학이 재미있어지는 수학퍼즐7
도둑맞은 새는 몇 마리일까? | 친구의 집까지 평균 시속은 얼마일까? | 디오판토스는 몇 세까지 살았을까? | 21마리의 양은 몇 주 동안 풀을 먹을 수 있을까? | 17마리의 당나귀를 삼남매가 나눈다면? | 주어진 조건으로 가짜 금화 찾기 | 당신은 이 트릭을 깰 수 있을까?
column 7 수학자의 최고봉이라 불리는 필즈상
재미있는 수학자 이야기 ⑦ 아이작 뉴턴

Xn＋Yn=Zn(n≥3)

n이 3 이상의 자연수일 때, 이 식을 만족하는 자연수 X, Y, Z는 존재하지 않는다. 이 식을 ‘페르마의 마지막 정리’라고 합니다. 식만 보면 피타고라스의 정리와 거의 비슷해 보입니다. 하지만 내용 면에서는 큰 차이점이 있습니다. 수학 문제는 문제의 의미를 이해하기 위해 고도의 지식을 필요로 하지만 페르마의 추측은 전문 지식이 없어도 문제의 의미를 이해할 수 있어 오히려 쉬운 편입니다. 페르마는 n=4인 경우를 증명했지만 모든 n값에 대한 증명은 발표하지 않았습니다. 이에 대해 페르마는 수학책 귀퉁이에 “나는 이 정리의 경이로운 증명 과정을 발견하였으나, 설명하기엔 책의 여백이 충분하지 않다.”라는 글을 남겼습니다.
- 제1장 정리와 추측의 기본을 알자

정리 중에서 비교적 친숙한 피타고라스의 정리는 거리를 계산할 때 자주 사용합니다. 좀 더 전문 분야를 예로 들면 우주로 인공위성을 쏘아 올리는 속도를 계산할 때도 사용합니다. 이 경우 지구 표면에서 수평 방향으로 쏘아 올린 위성이 추락하거나 떨어지지 않고 지구를 벗어나 궤도에 진입할 수 있는 속도를 계산합니다. 시속 몇 킬로미터로 비행해야 가능한지 피타고라스의 정리로 구할 수 있습니다. 토지를 측량할 때는 사인법칙을, 두 지점 간 거리를 잴 때 장애물이 있다면 코사인법칙을 사용해 계측합니다. A, B 두 지점의 거리 값을 구하고 싶은데 그 사이에 건물이나 산, 강 등의 장애물이 존재한다면 거리를 직접 측량할 수 없습니다. 그럴 때는 장애물이 없는 C 지점을 선택해 삼각형을 만들고, 코사인법칙을 활용해 거리를 측량합니다.
- 제1장 정리와 추측의 기본을 알자

4색정리는 1852년 영국의 수학자 프란시스 구드리가 ‘어떠한 지도라도 4색을 써서 칠하여 구분할 수 있다는 것을 증명하라’는 문제를 제기한 데서 시작되었습니다. 이 문제에 수많은 수학자와 수학 애호가 들이 몰두했습니다. 당시에는 쉽게 증명할 수 있다고 생각했지만 결과적으로 증명에 성공한 사람은 케네스 아펠과 볼프강 하켄이며 시기는 1976년이었습니다. 지도를 색으로 구분하는 데 외에는 실용성이 없다고 생각하기 쉬운 4색정리는 현재 휴대전화 기지국 배치 등에 응용되고 있습니다. 휴대전화 시스템은 주파수에 의해 전파가 혼선되기 때문에 인접한 영역 안에 동일한 주파수의 기지국을 설치하지 못하도록 영역을 구분하고 있습니다.
- 제3장 일상생활에서 만나는 다양한 수학의 정리