수학의 몽상

프롤로그
_수학 속으로

진리 게임｜수학자와 맹구｜모든 수학 이론이 수학적 진리와 무관하다는 것의 수학적 증명｜수학의 본질은 자유다｜수학의 초상들

1 자연에 수학의 주문을 걸다
_근대 과학혁명과 수학

마술과 과학 사이에서｜마술사를 과학자로 만드는 법｜수리수리 마하수리｜신 또한 수학의 주문에 걸리고｜새로운 세계가 열리리니｜우주정거장 안에서

2 도형을 문자로 바꾸는 법
_계산공간의 탄생

코끼리-기계와 뒤엉킨 탑｜코끼리-에펠탑=?｜숫자라고 다 같은 건 아니다｜‘계산공간’이란?｜터미네이터와 일기예보 속 계산공간｜한 걸음만 더!｜­2와 의 차이｜기하학적인 수와 대수적인 수｜기하학의 흔적을 지우자!｜도형을 문자로 바꾸는 법｜수학적 계산공간의 탄생

3 수학의 마술사, 혹은 마술사의 수학
_미적분학의 탄생

메피스토펠레스와의 거래｜세계 최초의 운동화｜운동화의 물리학｜캘큘러스 박사의 비밀｜0에 가깝지만 0은 아닌……｜캘큘러스 박사의 일기에서｜미분법을 뒤집으면 뭐가 나올까?｜새로운 요술, ㅁ으로 ㅇ 만들기｜늘어진 엿가락처럼 더하면｜미분은 빵점짜리 수학｜적분을 하면 모든 면적이 같아진다?｜뒷이야기

4 수학화된 세계의 꿈
_17~18세기 수학의 풍경

캘큘러스의 시대?｜계산할 수 있는 세계를 향하여｜이념적 수학 또는 수학의 이념｜17~18세기 수학의 네 가지 축｜17세기 수학적 공간의 배치

5 근대 수학의 기로
_해석학의 위기, 비유클리드 기하학의 모험

스페이드 나라의 앨리스｜멀쩡한 사람을 미친 사람으로 만드는 법｜­2­2­2­2­2­……=0?｜마녀처럼 보이면 마녀가 아니다?｜온 세상이 다 들어가는 구슬｜마녀 씨의 인생에 주름이 팬 사연｜구슬공간의 기하학｜구슬공간과 유클리드공간｜근대 수학의 모험｜위기와 기회

6 천국으로 가는 수학의 계단
_산수와 대수의 힘

스승과 제자｜칼리가리의 예언｜존재한다는 것만으로도 충분한｜수수께끼의 단서들｜둘째 예언의 수수께끼｜공회전｜마술사 칼리하리｜메피스토 왈츠｜위기의 해결책들｜기하학과 불변성｜모든 점을 첨점으로 바꾸는 방법｜수학과 도

7 다시, 판도라의 상자를 열다
_집합론의 상상력

19세기의 ‘수학 정신’｜두 가지 기획｜칸토어 박사, 판도라의 상자를 열다｜칸토어 박사의 강의｜수란 무엇이며, 무엇이어야 하는가｜무한을 세는 방법｜셀 수 있는 무한, 셀 수 없는 무한｜대각선을 공략하라!｜길고 짧은 건 재보면 똑같다｜연속체의 농도｜우주공간의 모든 점들을 바구니 안에 담는 방법｜무에서 창조되는 수｜집합론의 역설

8 새로운 낙원을 찾아서
_수학의 형식화

천국으로 가는 계단｜연속성의 심연｜역설의 시대｜이발사의 역설｜돈을 낳은 돈과 돈이 낳은 돈은 같은 돈인가 다른 돈인가｜수학에서 내용을 제거하면 뭐가 남을까｜형식체계와 해석｜수학은 사고법칙 안에 있느니｜직관주의와 배중률｜수학의 형식체계이니 형식을 통해서｜수많은 수학

9 수학적 세계의 심연
_수학의 불완전성, 혹은 열린 경계

수학과 원초적 본능｜현실과 소설의 경계｜있지만 없다고 생각하는 것｜CAP(Computer Aided Prison)｜마지막 관문 앨리게이터｜‘이 명제는 증명할 수 없다’를 증명할 수 있다면｜수학에서 출세하는 방법｜마법의 수를 갖는 문장｜타이타닉의 침몰｜아킬레스의 건｜열린 경계, 또는 공리계의 여백

10 기초 없는 수학을 위하여
_19세기 수학의 풍경

‘계산’에서 ‘기초’로｜두 개의 수학 삼각형｜19세기 수학적 기획의 선들｜기초 없는 수학을 위하여

에필로그
_수학의 바깥

추상과 횡단｜수학의 외부

근대 수학사 연표