문명과 수학

프롤로그 ……4
감수의 글 ……18
서문 세상 모든 지식의 문으로 들어가는 열쇠 ……22

제1부
수의 시작 ……28
수는 어떻게 생겨났을까? 곱셈과 나눗셈은 어떻게 시작됐을까.
파이값도 모르면서 원의 면적을 어떻게 구했을까.

수학의 모든 것은 이집트에서 출발한다.
3500년 전 이집트 서기관이 썼던 파피루스 한 장에 의지해
인류 최초의 문명 이집트가 왕국을 운영하던 방식,
그리고 어떻게 분배와 측량의 기술을 터득했는가를 살펴본다.

제2부
원론 ……50
미국의 독립선언서, 뉴턴의 『프린키피아』가 모범으로 삼은 책이 있다.
바로 유클리드의 『원론』이다.

유클리드는 그리스의 철학과 수학을 집대성해 한 권의 책에 담았다.
『원론』, 이 책은 수학의 원론이 아니라 이후 모든 논리학과 철학, 과학의 원론이 되었다.
“점이란 무엇인가”라는 이 간단한 질문 하나에 피타고라스에서 플라톤,
아리스토텔레스에 이르기까지 온 그리스의 철학자들이 매달린 이유를 살펴본다.

제3부
신의 숫자 ……72
공허를 없는 게 아니라 있는 것으로 본 민족이 만든 수, 0.
그것은 신의 숫자였다.

신을 사랑하고 영원을 믿었던 나라, 그들이 만든 숫자 하나가 인류의 역사를 바꿨다.
존재와 부재를 넘나드는 기묘한 숫자, 0은 수학을 무한의 세계로 뻗어 나가게 만들었고,
과학에게 우주를 상상할 수 있는 힘을 주었다. 종교의 나라 인도에서 인류 최고의 발명품 0이 탄생한 내력을 추적한다.

제4부
문명의 용광로 ……96
대수학, 산술, 기수법, 이전 문명의 위대한 지적 유산들…….
그 찬란한 정신이 이제 아랍의 언어로 문명의 소통을 시작한다.

서양의 지성이 혼돈 속에 잠든 시절, 아랍인들은 중세 문명을 이끌었다.
메소포타미아, 그리스, 인도의 수학이 아랍으로 녹아들어 새로운 진화를 보여 주었다.
삼각법의 발전, 인도 숫자의 전파, 무엇보다 대수학의 엄청난 도약이 있었다.
당대 문명의 뜨거운 용광로였던 이슬람에서 우리는
학문을 향한 쉼없는 열정과 또 다른 융합을 발견한다.

제5부
움직이는 세계, 미적분 ……116
‘미적분’을 둘러싼 뉴턴과 라이프니츠의 치열했던 싸움!
17세기 영국과 유럽 대륙은 지적 재산권 전쟁에 휘말렸다.

학계는 서로 100년 동안 서신 왕래도 끊었다. 전쟁의 중심에 서 있던 사람은
영국의 뉴턴과 독일의 라이프니츠. 그들이 서로 먼저 발견했다고 주장한 것은 미적분이었다.
미적분은 변화하는 모든 것을 방정식으로 풀어내는 마법과 같은 것이었기 때문이다.
뉴턴과 라이프니츠, 과연 승자는 누구였을까

제6부
남겨진 문제들 ……136
아마추어 수학자가 낸 문제, 그 봉인은 300년 동안 풀리지 않았다.
저주받은 난제에 도전한 천재 수학자들의 치열한 도전을 만난다.

1963년 영국 케임브리지의 동네 도서관에서 열 살 난 꼬마가 수학 문제 하나를 발견했다.
문제는 초등학생도 이해할 만큼 쉬웠다. 꼬마는 책을 빌려 집으로 돌아가면서
그 문제를 꼭 풀어야겠다고 다짐했다.
그러나 그것은 300년 동안 답이 있는지도 없는지도 모를 베일에 싸인 문제였고,
아이는 해답을 얻는 데 30년을 바쳤다. 인류에게 남겨진 위대한 수학 문제,
‘페르마의 마지막 정리’와 ‘푸앵카레의 추측’을 통해 문명의 지평을 탐색한다.

부록 ……164
에필로그 ……230
참고 자료 ……240

그러나 이 세상의 질서는 유목민이 살던 곳과 너무도 다르다. 수학의 전형들이 바로 이곳에 있다. 아무리 마음에 드는 물건을 발견해도 ‘계산’ 없이는 그 무엇도 손에 넣을 수 없다. 뿐만 아니라 사람들이 ‘시계’나 ‘저울’이라 부르는 것들에도, 도처에 늘어선 온갖 사물에서도 계산이 필요한 기호들이 붙어 있다. 베르베르인이 오늘 본 것이라고는 오가는 물건 없이 이상한 그림(숫자)만 무성한 요지경 같은 풍경뿐이다.
일찍이 피타고라스는 “만물의 원리는 수(數)이며 만물은 수를 모방한다”라고 말했다. 이 말에 동의하든 동의하지 않던 기실 우리 삶이 수와 밀접한 관계가 있다는 사실만큼은 인정할 수밖에 없다. 우리는 본능적으로 수학을 한다. 보기만 하면 바로 개수를 세어 보고, 그 양을 가늠한다. 어떤 것은 높이가 눈에 들어오기도 한다. 또한 어떤 것은 넓이가 아주 중요하다.
이를 통해 득과 실을 구별 짓기도 하고 때로는 비교 우위에 따라 성취감을 느끼기도 한다. 이처럼 우리는 자신도 모르게 수학적 감각을 통해 즐거움을 느낀다.

고대의 ‘경험적’이고 ‘실용적’인 차원의 수학을 흡수한 그리스인들은 이집트와 바빌로니아 서기들이 사용한 원리들을 명증한 언어로 끌어냈다. 우리는 그 태도를 ‘증명’이라 부르고 그 방식을 ‘연역’이라고 한다. 주어진 해법에 따라 문제를 푸는 것과 그 안에 내재된 ‘보편적 원리’를 규명하려는 태도 사이에는 커다란 차이가 존재한다. 그리스 수학의 여명은 바로 이런 문명의 변곡점에서 시작되었다. 유클리드의 『원론』은 그리스적 사유 체계를 예증하는 상징이다.
『원론』은 당시 왕이 배웠던 수학 책이기도 하다. 프톨레마이오스 1세는 제국의 왕으로서 논리, 윤리, 철학 등과 함께 필수 과목으로 수학을 배웠다. 왕에겐 특히 수학 수업이 중요했다. 언뜻 봐도 낯선 도형들로 가득 차 있는 이 책을 왕은 왜 배워야만 했던 걸까.