페렐만의 살아있는 수학 4

과학자를 꿈꾸는 청소년들에게

1장 숲의 기하학
1. 그림자 길이로 나무 높이 재기
2. 간단한 도구를 이용하여 나무 높이 재기
3. 절벽의 높이 재기
4. 어느 군인이 생각한 방법
5. 수첩을 이용하여 나무 높이 재기
6. 나무 가까이 가지 않고 나무 높이 재기
7. 거울을 이용하여 나무 높이 재기
8. 소나무 두 그루
9. 잎사귀의 기하학
체중과 근력의 기하학
개미는 정말 천하장사일까?

2장 강변의 기하학
1. 강폭의 측정
2. 섬의 길이
3. 건너편 강가에서 걷고 있는 사람
4. 가장 간단한 거리계
5. 강물 흐름의 속도
6. 연못의 깊이
7. 강 속에 있는 별빛 하늘
8. 강을 가로지르는 길
9. 두 개의 다리를 놓는 일
별의 기하학
'신비의 섬' 의 위도

3장 노천의 기하학
1. 달의 크기
2. 시각
3. 접시와 달과 동전
4. 살아있는 각도기
5. 야곱의 지팡이
6. 당신의 시력
7. 시력의 한계
태양의 기하학
'신비한 섬' 의 경도

4장 도로의 기하학
1. 걸음으로 측정하는 기술
2. 눈짐작(目測)
3. 벽돌더미
4. 웅장한 언덕
5. 커브 길
6. 대양의 밑바닥
물의 기하학
물로 만든 산(water mountain)이 있을까?

5장 하늘과 땅이 만나는 곳
1. 지평선
2. 수평선 위의 배
3. 지평선까지 거리
4. 고골의 망루
5. 레일들은 어디에서 만날까?
6. 등대에 관한 문제
7. 번개
8. 달에서의 수평선
9. 달의 크레이터(분화구)안에서
10. 목성에서
별밤 하늘의 기하학
북극성을 어떻게 찾을까?

6장 원에 대한 과거 및 현재 지식
1. 난 그걸 알아요, 잘 기억하고 있어요
2. 잭 런던의 실수
3. 바늘 떨어뜨리기
4. 원주 곧게 펴기
5. 머리 혹은 발
6. 적도를 따라 감긴 철사
7. 사실과 계산
8. 줄 타는 소녀
9. 북극 경유의 코스
10. 전동벨트 길이
11. 현명한 까마귀
π의 기하학
이집트와 로마의 실용기하학

7장 기하학에서 큰 것과 작은 것
1. 골무 속에 있는 27,000,000,000,000,000,000
2. 체적과 압력
3. 두 개의 캔
4. 거인 담배
5. 타조 알
6. 에피오르니스 알
7. 알을 깨지 않은 채 껍질 무게를 알아내는 방법
8. 명료한 그림
9. 우리의 표준체중
10. 거인과 난쟁이
11. 왜 먼지와 구름은 공중에 떠다닐까?
거인과 난쟁이의 기하학
걸리버의 기하학

8장 기하학으로 푸는 경제학
1. 파홈과 땅
2. 사다리꼴 혹은 직사각형
3. 다른 형태의 땅 면적
4. 못
5. 최대 체적의 물체
6. 같은 인수들을 곱하기
7. 최대면적의 삼각형
8. 가장 무거운 각목
9. 마분지 삼각형
10. 고민에 빠진 양철공
11. 곤경에 빠진 선반공
12. 판자를 길게 만드는 방법
13. 가장 짧은 코스
정사각형과 기하학
정사각형의 뛰어난 특성

그림자 길이로 나무 높이 재기

거대한 소나무 옆에서 자그마한 휴대용 도구로 나무 높이를 재던 백발의 노인을 보았을 때 나는 깜짝 놀랐다. 그 기억은 아직도 생생하다. 그 노인이 가지고 있던 조그마한 네모 판으로 나무의 꼭대기를 겨누었을 때 나는 이제 노인이 줄자를 가지고 나무를 타고 꼭대기까지 올라갈 것이라고 생각했다. 하지만 노인은 도구를 바로 접어서 주머니에 다시 넣고는 작업이 끝났다고 했다. 나는 이제 시작도 하지 않았다고 생각을 했는데……. 그 때 나는 너무 어렸다. 그렇기 때문에 나무 위로 올라가지도 않고 나무를 베어서 넘어뜨리지도 않고 그렇게 나무 높이를 재는 것이 내게는 자그마한 기적처럼 느껴졌다. 나중에 기하학에 대해서 조금 공부를 했을 때에야 나는 그런 기적이 아주 간단한 원리에 의해서 그리고 아주 사소해 보이는 도구의 도움으로 만들어진다는 것을 알게 되었다.
이러한 방법 중 가장 간단하면서도 가장 오래된 방법은 말할 것도 없이 기원전 6세기 경의 그리스의 현자 탈레스가 이집트의 피라미드 높이를 재었던 방법이다. 그는 그림자를 이용했다. 파라오와 신관들은 피라미드 아래 모여서 그림자를 이용해서 커다란 피라미드를 재고 있는 북에서 온 손님을 신기한 듯 바라보았다. 전설에 의하면 탈레스는 자신의 키와 자신의 그림자의 길이가 같아지는 시각을 골랐다고 한다. 왜냐하면 이 순간에 마찬가지로 피라미드의 그림자의 길이와 피라미드의 높이가 같게 되기 때문이다. 아마 이것은 인간이 자신의 그림자를 유용하게 사용한 그 첫 번째 예가 될 것이다.
그리스 현인이 사용한 방법은 현대의 어린아이도 간단하게 응용할 수 있는 것이다. 하지만 이렇게 간단하게 응용하는 것은 탈레스 이후에 기하학의 발전이 거듭되었기 때문에 가능하게 되었다는 것을 잊지 말자.
탈레스는 유클리드보다 더 오래 전에 살았던 인물이다. 유클리드는 그가 죽은 후 2,000년이 넘도록 읽혀지고 있는 기하학 책을 썼다. 책 속에 있는 이론들을 지금은 누구나 알고 있지만 탈레스가 살던 시대에는 그렇지 못했다. 피라미드의 높이를 그림자의 길이로 재기 위해서는 삼각형의 기하학적 특성을 알고 있어야만 했다. 그것은 바로 다음과 같다. 둘 중에서 첫 번째 것은 탈레스가 밝혀낸 것이다.
1) 이등변삼각형의 밑각은 서로 같다. 다시 말해서 밑각이 서로 같은 삼각형은 이등변삼각형이다.
2) 모든 삼각형의 내각의 합은 직각의 두 배(즉 180°)이다.
위와 같은 사실을 알고 있는 상태에서 탈레스는 자신의 그림자 길이와 키가 같아질 때에 태양빛이 평평한 지면에 직각의 반(즉 45°)으로 비치므로 피라미드의 정점과 밑변의 중심과 그림자의 끝을 연결한 삼각형이 이등변삼각형이 된다는 결론을 낼 수 있었다.
이러한 간단한 방법은 맑은 날씨에 홀로 서있는(왜냐하면 그림자가 다른 물체에 겹치지 않아야 하기 때문에) 나무의 그림자를 가지고 나무의 높이를 재는데 매우 유용할 것 같다. 하지만 위도가 높게 위치한 곳에 사는 사람들에게 이집트와 같이 필요한 순간을 포착하기는 쉽지 않다. 왜냐하면 대부분의 경우 태양이 낮게 떠있고 필요한 높이 이상으로 태양이 뜨는 경우는 여름 동안 아주 짧은 시간만 그렇게 되기 때문이다. 그러므로 탈레스에 의한 방법이 모든 곳에서 유용하게 사용되지는 않는 것이다.