숫자 없이 모든 문제가 풀리는 수학책

서장 지금까지 우리가 수학을 못했던 이유
수학은 문제를 해결하기 위한 학문이 아니다
그렇다면 학문이란 무엇인가
그동안 우리가 배운 학문은 ‘정리’에 불과했다
올바른 학문을 위한 스타트
우리는 왜 수학을 공부하는가
‘이과’의 의미

제1장 수학적 사고란 무엇인가
수학과 정면으로 마주해보자
수학은 언어이다
언어는 번역하면 된다
문과생도 알 수 있는 <양자론>
<불확정성 원리>의 의미
터널 효과
우리는 이미 수학 우주 안에 살고 있다
왜 수학이 어려울까
문예비평으로 변한 철학
Δl×Δυ>h는 ‘이 세상에 확정적인 것은 아무것도 없음’을 나타내는 수식일 뿐

제2장 수학이란 무엇인가
수학 공간 자유롭게 구축하기
왜 마이너스×마이너스는 플러스가 될까?
‘마이너스 3m 진행하는 차’란 어떤 의미일까?
벡터 공간을 느끼다
수학적 사고란 암기도 계산도 아니다
현실과 비현실을 뒤바꾸는 수학
수학상으로만 존재하는 공간
이 세상에는 존재하지 않는 것을 존재하게 하는 수학
수학에 숫자는 필요 없다
공식을 외우는 것은 수학이 아니다
규칙을 찾다
이 세상에 존재하지 않는 연역법
논리 사고에 관한 오해
세계는 연역법으로 움직이고 있다
연역법으로 세계를 움직이는 방법

제3장 행복을 측정하는 경제학과 수학의 방법
행복의 기준이란 무엇인가
행복감의 기준은 양이 아닌 변화
인간은 이익보다 손실에 민감하다
가치 함수
인간이 위험을 무릅쓰는 경우
인간은 논리적으로 살지 않는다
불합리한 사회
수학이라는 학문 세계에도 있는 불합리함
세계는 한정 합리성으로 움직이고 있다
가추법

제4장 인공지능과 수학적 사고
모호한 판단이 옳다
인간에게 ‘정보 부족’은 인공지능에게 ‘정보 과다’
인간의 사고는 자연계에 있지 않다
딥러닝
싱귤래리티
디스토피아를 만드는 것은 인간이다
수학과 철학
술어논리
당신은 인공지능에 어떤 명령을 내리겠는가?

제5장 원리원칙과 우아한 증명
우아한 증명을 이끌어내는 원리원칙
‘자유’란 무엇인가?
헌법이 부정하는 자유
자유는 멋진 것일까?
‘고민’에 관한 수학적 사고
프레임 문제
강제 종료
‘종교’라는 해법
‘일’에 관한 고민
일본식 비즈니스
실패를 감추는 문화
올바른 비즈니스를 위한 판단
프린서플
생각은 혼돈에서 탄생한다

맺음말

“수학적 사고로 문제를 해결하는 책을 쓰실 수 있습니까?”
이런 질문을 예전부터 받아왔지만 나는 그다지 내키지 않았다. 그 이유는 ‘수학적 사고로 문제를 해결한다’는 발상에 위화감을 느꼈기 때문이다.
수학은 문제를 풀기 위한 도구가 아니다. 반대로 ‘문제를 찾기 위한 것’이다. 적어도 내가 배운 수학은 그랬다. 스스로 문제를 찾고 한순간에 풀어낸다. 풀이 방법과 풀이의 증명은 나중 이야기이고, 솔직하게 말하자면 다른 사람이 해낸다 해도 상관없다.
<페르마의 마지막 정리>가 바로 이런 예이다. 수학의 미해결 문제로 가장 유명했던 이 정리는 페르마가 어떤 책의 페이지 구석에 ‘내가 놀랄 만한 증명을 발견했지만, 그것을 쓰기에는 여백이 너무 부족하다’라는 말을 남긴 것으로 시작되었다. 결국 이것을 증명해낸 사람은 360년 후의 수학자였다. 하지만 풀어낸 수학자의 이름을 알고 있는 사람은 과연 몇이나 될까? 참고로 이 사람의 이름은 앤드루 와일스였지만 결국 우리의 기억에 남아 있는 사람은 페르마이다.
이렇게 한순간에 찾아낸 풀이를 수학의 세계에서는 ‘우아한 증명’이라고 말한다. 수학에서 우아함은 ‘가장 심플한 것’을 의미한다. 현재 <피타고라스 정리>의 증명은 500개 정도 존재하지만 그중에서 가장 간결한 것이 우아한 증명이라는 말이다.
<서장 지금까지 우리가 수학을 못했던 이유>

수학이 서툰 사람들은 수식을 이해하지 못해서 수학에서 멀어져간다. 수식 따위는 그저 도구이며 언어일 뿐인데, 이것을 몰라서 수학에서 멀어져간다는 것은 너무나도 안타깝다. 우주의 이치란 무엇일까? 우리는 무엇을 위해 태어나고, 무엇을 위해 살아갈까? 더욱 좋은 삶을 위해서는 어떻게 하면 될까? 수학은 여기에 구체적으로 답하고 있다. 중요한 것은 표현 방법이 아니라 표현된 내용이다.
Δl×Δυ>h. 이것은 <불확정성 원리>를 나타내는 어려운 수식이 아니라, ‘이 세상에 확정적인 것은 아무것도 없다’는 의미를 표현하고 있는 언어이다. 이에 대해 아인슈타인은 “그렇지 않다. 인간이 아직 진리에 도달하지 못한 것뿐이다”라고 반론했다. 이때 그는 ‘신은 주사위놀이를 하지 않는다’라는 유명한 명언을 남겼다. 천재 물리학자가 신이라는 언어까지 꺼내가며 이것을 부정하려고 한 것이다.
괴델의 <불완전성 원리>도 그렇다. 이것은 ‘완전한 것은 없음’을 나타내는 언어이다. 완전한 것은 없다는 말은 ‘신도 존재하지 않는다’는 뜻이다. 수학자가 말하는 내용이 이런 것이다. 사실 <불완전성 원리>를 발표한 뒤 괴델은 반대로 <신의 존재 증명(Godel’s ontological proof)>에 몰두하게 되었고, 결국 정신적으로 문제가 생겼다. 정말 불행한 일이다. 이렇게 아플 정도로 온 힘을 다해 몰두하게 하는 마성의 매력으로 가득 찬 것, 이것이 바로 수학이다.
<제1장 수학적 사고란 무엇인가>

수학은 ‘수학 우주’가 있다는 것을 전제로 하는 학문이다. 특별히 ‘우주’라고 표현한 이유는 넓이를 의식해주기를 바라기 때문이다. 수학 우주란 물리 우주 이외의 수식으로 표현되는 세계이다.
‘물리 이외의 우주가 세상에 존재할까?’라고 생각하는 사람도 있을 것 같은데, 예를 들면 ‘3-4=-1’은 수식으로 표현이 가능하지만 ‘공이 3개 들어 있는 주머니에서 4개의 공을 꺼내는 것’은 불가능한 일이다. 고작 뺄셈만으로도 우리는 간단하게 물리 공간에서 떨어져 나와 상상의 세계인 정보 공간에 들어갈 수 있다. ‘물리 공간에서 떨어져 정보 공간을 자유롭게 구축하는 것’, 바로 이 부분이 수학적 사고에서 가장 중요한 부분이다.
<제2장 수학이란 무엇인가>