보통 사람들을 위한 특별한 수학책

머리말 / 스릴러보다 더 재미있는 ‘수’ 이야기

1장 수를 알면 인간을 이해할 수 있다 - 모든 것의 시작은 0이다
투탕카멘과 ‘4년’의 비밀 - 나일 강 범람의 수수께끼
티아마트 용의 강력한 수 - 해와 달의 움직임으로 일식과 월식을 계산하다
수와 글자 - 고대인들의 숫자 표기
누구나 숫자를 쓰고 셈하게 되다 - 아라비아의 10진법의 전파
마하라자와 어마어마한 수 - 현자와의 체스 시합

2장 옛날 사람들은 어떻게 숫자를 셌을까 - 자연 속에서 가장 큰 수들
작은 수에서 큰 수까지 - 부유한 사람일수록 큰 숫자를 세다
지구의 크기를 측정하라 - 땅의 크기를 알려면 기하학이 필요하다
천문학적인 수 - 지구와 달의 거리
우주의 최대수 - 우주를 모래알로 채울 때
계산이 아니라 어림평가를 하라 - 시카고에 피아노 조율사는 몇 명이나 될까

3장 수학은 현실의 놀라운 발견이다 - 최고의 수학자
수학의 순교자 - 아르키메데스의 기하학 원리
천재의 아이디어 - 천재는 어떻게 인식에 도달하는가
두 번째는 의미가 없다 - 뉴턴과 라이프니츠의 미적분 공방
이집트의 분수 -호루스 신화를 통해 본 이집트의 수 개념
태양신의 소 - 오디세우스 일행이 죽인 소는 몇 마리일까?

4장 곱하고 또 곱하면 - 수학의 최대수
연속수 - 평생 캔버스에 숫자를 그려 넣은 오팔카
제곱수와 세제곱수 - 기하학적 도형을 계산할 때
제곱과 백분율 - 곱셈을 몰랐던 농부의 비극
가장 중요한 계산과 어마어마한 돈 -퍼센트는 곱셈으로 계산하라
도널드 커누스와 수의 괴물 - 거듭제곱이란 무엇인가

5장 나눗셈에는 세계의 비밀이 담겨 있다 - 신비의 수
4,294,967,297 - 페르마의 여섯 번째 수
소수를 찾아서 - 메르센과 페르마의 소수 연구
스파이 세계에서도 수는 중요하다 - 스파이와 암호
암호 작성과 해독 - 스마일리의 계수와 지수
거대한 소수들 - 암호에 사용된 비밀지수
환상과 현실 - 숫자의 비밀을 아는 사람이 이긴다
절대적으로 안전한 방법 - 안전한 OTP 암호화 방식
우연이 안전을 보장한다 - 자연보다 더 믿을 수 있는 것이 수학이다
정상적인 수 - 원주율 파이
창조적인 뒤죽박죽 - 나눗셈의 놀라운 비밀

6장 생각하는 것이 계산하는 것이다 - 수에 대한 인간의 생각
켄 제닝스와 브래드 러터의 낭패 - 인공지능과 인간의 대결
때를 못 맞춰 나온 파스칼의 계산기 - 파스칼이 만든 계산기 파스칼린
라이프니츠의 수와 러브레이스의 프로그램 -인간의 사고를 반영한 2진수
전기 수산기의 탄생 - 패러데이가 인식하고 맥스웰이 토대를 갖춘 현대 문명
학습된 회의론과 튜링 테스트 - 기계는 인간의 ‘감정’을 흉내 낼 수 있을까

7장 수학의 한계는 어디까지인가 - 전지성에 대한 요구
괴팅겐의 거인 - 수학은 논리이자 생각이다
‘이그노라비무스’는 없다 - 여기 문제가 있다, 찾아라
기하학의 사고의 법칙 - 기하학은 인간이 ‘생각’할 수 있을 때 존재한다
무한 10진수 - 계산할 수 없는 것의 계산
모순으로 가득 찬 호텔 - 무한을 생각에 담다
끝없는 문답게임 - 가산적인 무한과 초가산적인 무한
힐베르트의 프로그램 - 수학에는 한계가 없는가

8장 수학은 무한에 대한 과학이다 - 전지 대신 전능
직관의 수학자 푸앵카레 - 직관이 논리에 앞선다
모래 위에 세운 과학 - 힐베르트에 반기를 든 두 수학자
20세기 최고의 논리학자 괴델 - 맞는지 틀리는지 결정할 수 없는 명제가 있다
프린스턴의 유령 - 모순의 여지가 없는 모든 것이 실제로 있을까
무한의 자리매김 - 수학은 무한에 대한 과학이다

옮긴이의 말 / 매혹적인 수의 세계
주석

이집트의 고문관들은 100이나 200, 300이 넘는 수까지 셀 수 있었다. 당시에 이 정도까지 수를 이해하는 사람은 극소수에 지나지 않았다. 글씨를 쓸 수 있는 사람이 거의 없는데다 365나 1460처럼 큰 숫자는 적는 법을 알아야만 다룰 수 있었기 때문이다. 무엇보다 두 숫자는 파라오의 고문관들이 권력을 얻는 데 큰 도움이 되었다. 365라는 수의 의미는 분명하다. 이집트의 고문관들은 시리우스가 한번 뜬 다음 다시 뜰 때까지 정확하게 365일이 걸린다는 사실을 알았다. 따라서 이집트력의 1년에는 이만큼의 날짜가 들어가게 되었다. 이들은 여기서 그치지 않고 수십 년 동안 아주 꼼꼼하게 천체를 관측하면서 한층 더 깊은 비밀을 알아냈다. 즉, 시리우스가 마치 늑장을 부리듯 4년마다 하루씩 늦게 뜬다는 사실이었다. 그래서 숫자에 정통한 이들은 파라오가 매번 신들로부터 나일 강이 범람하는 정확한 시점을 그때마다 새롭게 전달받는 것처럼 백성에게 믿게 했다. 고문관들은 이런 이치를 알고 있었지만 농부들에게는 수수께끼처럼 복잡한 것이었다.

아담 리스의 정신사적 업적은 아무리 강조해도 지나치지 않을 것이다. 사람들은 처음으로 탐욕스런 학자들에게 의존하지 않고 중요하면서도 일반 대중들에게는 베일에 가려져 있던 신비에 찬 계산을 직접 하는 경험을 했다. 더 이상 비밀은 없었다. 아무도 계산 전문가에게 돈을 줄 필요가 없었다. 누구나 쓰기와 읽기처럼 계산을 손쉽게 할 수 있었다. 아담 리스는 모든 남녀 시민을 미성숙 상태에서 해방시켰고 이들은 중세 이후 처음으로 계몽주의를 경험한 것이다. 학교에서 왜 수학을 가르치는지, 때로 도발적인 질문이 나올 때면, 이런 역사의 관점에서 대답할 수 있을 것이다. “수학이 계몽주의 최초의 가장 성공적인 프로젝트니까.”

인간은 정착 생활을 하자마자 아주 빠르게 기하학의 기본개념을 익혔다. 우선 자신이 경작하는 땅의 크기를 알고 싶어 했다. 가령 한 농부가 자신의 땅을 바라본다고 치자. 그 길이를 재려면 그는 길이 측정 단위, 예컨대 양팔을 쭉 뻗은 길이인 발과 비교할 수 있다. 그 농부의 밭이랑이 직사각형으로 폭이 한 발에 길이가 일곱 발이라면 그는 폭과 길이가 각 네 발인 정사각형의 밭이랑을 가진 이웃과 똑같은 수확을 할 수 있다고 생각할 것이다. 두 사람의 밭이랑은 모두 둘레가 16발이기 때문이다. 이웃이 자신보다 두 배 이상을 수확하는 것을 그 농부는 처음에는 이해하지 못할 것이다. 그러다가 수확은 둘레가 아니라 면적에 달려 있다는 것을 알게 되고 수확에 얽힌 수수께끼를 풀게 된다. 즉 자신의 좁은 직사각형의 밭이랑에는 각 변의 길이가 한 발인 정사각형이 7개밖에 못 들어가지만 이웃의 정사각형 밭이랑에는 4개씩 4줄, 즉 16개의 정사각형이 들어가는 것을 알게 되는 것이다.