1 더하기 1은 2인가

감수의 말
머리말

1장. 1+1은 진짜로 어려울까?
2장. 손가락과 발가락: 셈의 기원
3장. 밑을 바꾸기: 비트와 바이트
4장. 수의 정의
5장. 집합의 덧셈
6장. 화이트헤드와 러셀의 1+1=2 증명
7장. 초한 산술
8장. 괴델의 불완전성
9장. 하나와 둘은 왜 그렇게 자주 나타날까?
10장. 수학이란 무엇인가

물물교환을 할 때는 양을 한 마리마다 따로 지불해야 한다. 예를 들어 담배 두 꾸러미와 양 한 마리를 바꾼다고 하자. 이때 다마라 사람은 양 두 마리를 주고 담배 네 꾸러미를 받는다는 계산에 혼란스러워했다. 내가 경험한 바에 따르면, 그는 먼저 받은 담배 두 꾸러미를 옆에 두고 자기가 팔려고 하는 양 한 마리를 바라보았다. 첫 번째 양에 대해 값을 제대로 받았다는 생각에 흡족했지만, 그는 다른 양에 대한 대가인 담배 두 꾸러미가 또 있는 것을 보고 놀랐고, 수많은 의심으로 혼란스러워했다. 그는 이 거래를 잘 이해하지 못하는 것 같았다. 그는 첫 번째의 담배 두 꾸러미를 보더니 훨씬 더 큰 혼란에 빠져서, 이 양과 저 양을 번갈아 쳐다보았다. 그는 거래를 관두려고 했다. 결국 담배 두 꾸러미를 그의 손에 쥐여주고 양 한 마리를 데려오고, 교환한 것들을 그가 보지 못하는 곳으로 치워둔 다음에 다시 담배 두 꾸러미를 주고 두 번째 양을 데려오면서 거래가 성사되었다._ 〈2장. 손가락과 발가락〉에 인용된 프랜시스 골턴의 서술 재인용

바로 뒤의 것이라는 생각은 우리 정신 속에 들어 있는 자연스러운 개념인 듯하다. 어떤 의미에서 이것은 시간의 화살이 존재한다는 것의, 또 원인과 결과라는 순서를 겪어본 경험의 결과인 듯하다. 우리는 미래를 과거와 분리하고, 미래는 원인과 결과가 이어지면서 앞으로 나아간다. 테드 창의 단편소설 〈당신 인생의 이야기〉와 드니 빌뇌브 감독이 2016년에 영화로 만든 〈컨택트〉에서는 이러한 개념과 흥미롭게 대조되는 관점을 볼 수 있다. ...
이 영화는 정신의 작동과 그 붙박이 배선이 우리가 세계를 받아들이는 방식을 어떻게 결정하는지, 셈과 같은 정신적 과정들이 우리의 사고와 어떻게 연결되는지를 생각하게 만든다는 점에서 중요하다.
산술이 어떻게 엄밀하고 논리적으로 건전한 기술을 제공하는지에 대한 질문은 여러 가지 이유로 중요하다. 이 질문은 수와 셈에 대한 우리의 생각을 바꾼다. 수와 셈은 단지 계란이나 동전을 세는 유용한 수단이 아니다. 수와 셈은, 그것이 세는 물건들을 벗어나서 순전히 규칙으로만 정의되는 논리 체계로 존재한다. 하나와 둘만 세는 원시적인 체계에서는 없던 그 무엇이 나타나는 것이다. 규칙을 바꾸면 새로운 수학 체계를 만들 수 있고, 이러한 수학 체계는 세계에 있는 어떤 것과도 대응되지 않을 수 있다. 중요한 것은 그 규칙들이 일관되고 1=2와 같은 모순이 생기지 않는다는 것이다._ 〈4장. 수의 정의〉 중에서

그러므로 마침내 1+1=2이다. 저자들은 1+1=2를 이렇게 공들여 증명한 다음에, 절제된 표현으로 이 결과가 ‘가끔 유용하다’고 덧붙였다! 이것은 쉽지 않은 주제이지만, 더 살펴보지는 않을 것이다. 러셀은 이 연구가 너무 힘들어서 정신적인 압박감을 느꼈다. 그 후 화이트헤드도 러셀도 수학의 기초에 대한 주제를 다시는 자세히 연구하지 않았다._ 〈6장. 화이트헤드와 러셀의 1+1=2 증명〉 중에서